Question

15．如图所示，一个半径为r的实心球体处于某种液体中，球体最上端距离液面的距离为h₀，已知液体的密度为ρ，球体的体积为$\frac{4}{3}$πr³．若将此球沿图中虚线切成两个半球，求：
（1）上半球的横切面受到液体向上的压力；
（2）上半球所受的浮力；
（3）液体对球体向下的压力．

Answer 1

分析 （1）将球体分成上、下相等的两个半球，根据液体压强公式求出上半球下底面受到的压强，根据p=$\frac{F}{S}$求出下表面受到的压力；
（2）根据阿基米德原理求出上半球受到的浮力；
（3）根据浮力产生的原因（F_浮=F_下-F_上）求出液体对球体向下的压力．

解答 解：（1）将球体分成上、下相等的两个半球，
上半球下底面大深度为h=h₀+r，
则上半球的横切面受到液体向上的压强：
p=ρgh=ρg（h₀+r），
由p=$\frac{F}{S}$可得，上半球下表面受到的压力：
F_下=pS=ρg（h₀+r）πr²；
（2）上半球受到的浮力：
F_浮=ρgV_排1=ρg×$\frac{1}{2}$V_球=ρg×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{2}{3}$ρgπr³；
（3）由F_浮=F_下-F_上可得，液体对球体向下的压力：
F_上=F_下-F_浮=ρg（h₀+r）πr²-$\frac{2}{3}$ρgπr³=ρgh₀πr²+$\frac{1}{3}$ρgπr³=ρgπr²（h₀+$\frac{r}{3}$）．
答：（1）上半球的横切面受到液体向上的压力为ρg（h₀+r）πr²；
（2）上半球所受的浮力为$\frac{2}{3}$ρgπr³；
（3）液体对球体向下的压力为ρgπr²（h₀+$\frac{r}{3}$）．

点评 本题考查了液体压强公式、固体压强公式、阿基米德原理和浮力产生原因的应用，关键是能把液体对球体向下的压力用半球来处理．