Question

15．在底面积分别为0.04m²和0.01m²的甲、乙圆柱形薄壁容器中，容器质量都为1kg，高均为0.06米．分别盛有高都为0.05米的水和酒精．已知酒精的密度为800千克/米³．求：
（1）乙容器中酒精的质量；
（2）甲容器对桌面的压强；
（3）为了使水和酒精对各自容器底部的压强相等，现在甲、乙容器中分别放入等体积的花岗岩和木块．则这个方法可不可行，算出体积大小；如果不可行，请说明理由．（已知ρ_木=500千克/米³，ρ_花岗石=2500千克/米³）

Answer 1

分析 （1）求出乙容器中酒精的体积，利用m=ρV求乙容器中酒精的质量；
（2）求出甲容器中水的体积，利用m=ρV求甲容器中水的质量，进而求出甲容器和水的总质量，再利用G=mg求其总重，甲容器对桌面的压力等于总重力，知道甲容器底面积（受力面积），再利用压强公式求甲容器对桌面的压强；
（3）在水中放入花岗岩后，花岗岩对水的压力等于花岗岩受到的浮力，由题知，甲乙都是圆柱形薄壁容器，在水中放入花岗岩后，水对容器底的压力等于水的重力加上花岗岩对水的压力，可求水对甲容器底的压强；同理可求酒精对乙容器底的压强，根据p_甲=p_乙求出V的大小．

解答 解：
（1）乙容器中酒精的体积：
V_酒精=S_乙h=0.01m²×0.05m=5×10^-4m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得乙容器中酒精的质量：
m_酒精=ρ_酒精V_酒精=800kg/m³×5×10^-4m³=0.4kg；
（2）甲容器中水的体积：
V_水=S_甲h=0.04m²×0.05m=2×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得甲容器中水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1000kg/m³×2×10^-3m³=2kg，
甲容器和水的总质量m_甲总=m_容器+m_水=1kg+2kg=3kg，
甲容器和水的总重G_甲总=m_甲总g=3kg×10N/kg=30N，
甲容器对桌面的压力G=G_甲总=30N，
S_甲=0.04m²，
甲容器对桌面的压强：
p=$\frac{F}{{S}_{甲}}$=$\frac{30N}{0.04{m}^{2}}$=750Pa；
（3）设花岗岩和木块的体积为V，
在水中放入花岗岩后，花岗岩对水的压力等于花岗岩受到的浮力，
由题知，甲乙都是圆柱形薄壁容器，在水中放入花岗岩后，水对容器底的压力等于水的重力加上花岗岩对水的压力，
即F_甲=G_水+ρ_水V_排g=G_水+ρ_水Vg，
水对甲容器底的压强：
p_甲=$\frac{{F}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{水}+{ρ}_{水}Vg}{{S}_{甲}}$=$\frac{2kg×10N/kg+1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×V×10N/kg}{0.04{m}^{2}}$，
同理，酒精对乙容器底的压强：
p_乙=$\frac{{F}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{酒精}+{ρ}_{木}Vg}{0.01{m}^{2}}$=$\frac{0.4kg×10N/kg+500kg/{m}^{3}×V×10N/kg}{0.01{m}^{2}}$，
若p_甲=p_乙，
即$\frac{2kg×10N/kg+1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×V×10N/kg}{0.04{m}^{2}}$=$\frac{0.4kg×10N/kg+500kg/{m}^{3}×V×10N/kg}{0.01{m}^{2}}$，
解得：
V=4×10^-4m³，
可见这个方法可行，花岗岩和木块的体积为4×10^-4m³．
答：（1）乙容器中酒精的质量为0.4kg；
（2）甲容器对桌面的压强为750Pa；
（3）这个方法可行，花岗岩和木块的体积为4×10^-4m³．

点评 本题难点在第三问，能求出放入花岗岩和木块后液体对容器底的压力是关键．