Question

3．如图所示，均匀细杆OA长为L，可以绕O点在竖直平面内自由移动，在O点正上方距离同样是l的P处固定一定滑轮，细绳通过定滑轮与细杆的另一端A相连，并将细杆A端绕O点从水平位置缓慢匀速向上拉起．已知绳上拉力为F₁，当拉至细杆与水平面夹角O为30°时，绳上拉力为F₂，在此过程中（不考虑绳重及摩擦），下列判断正确的是（　　）

• A． 拉力F的大小保持不变
• B． 杆OA的重力势能增加
• C． 细杆重力的力臂逐渐减小
• D． F₁与F₂两力之比为$\sqrt{2}$：1

Answer 1

分析 （1）（2）找出杠杆即将离开水平位置和把吊桥拉起到与水平面的夹角为30°时的动力臂和阻力臂，然后结合利用杠杆的平衡条件结合数学知识分别求出F₁、F₂的大小；
（3）分析将细杆A端绕O点从水平位置缓慢匀速向上拉起，杆的重心变化，根据影响重力大小的因素，确定杆OA的重力势能变化．

解答 解：（1）细杆处于水平位置时，杠杆的五要素如图1：

△POA和△PCO都为等腰直角三角形，OC=PC，PO=OA=l，OB=$\frac{1}{2}$l，
因（PC）²+（OC）²=（PO）²，
所以可得OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l，
因杠杆平衡，故F₁×OC=G×OB，
则F₁=$\frac{G×OB}{OC}$=$\frac{G×\frac{1}{2}l}{\frac{\sqrt{2}}{2}l}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$G；
（2）当拉至细杆与水平面夹角θ为30°时，杠杆的五要素如图2，
绳上拉力为F₂，由于∠POA=90°-30°=60°，OA=OP=l，则△PAO为等边三角形，
因AP=OA=l，则AC′=$\frac{1}{2}$l，
因（AC′）²+（OC′）²=（OA）²，即（$\frac{1}{2}$l）²+（OC′）²=l²，
解得OC′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，
在Rt△BB′O中，∠BOB′=30°，则BB′=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$l=$\frac{1}{4}$l，
因（OB′）²+（BB′）²=（OB）²，
所以可得OB′=$\frac{\sqrt{3}}{4}$l，
故OB′＜OB，
即细杆重力的力臂逐渐减小，故C正确；
因此时杠杆平衡，故F₂×OC′=G×OB′，
则F₂=$\frac{G×OB′}{OC′}$=$\frac{G×\frac{\sqrt{3}}{4}l}{\frac{\sqrt{3}}{2}l}$=$\frac{1}{2}$G，
故F₁＞F₂，故A错误；
则F₁：F₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$G：$\frac{1}{2}$G=$\sqrt{2}$：1，故D正确．
（3）将细杆A端绕O点从水平位置缓慢匀速向上拉起，杆的重心升高，即高度增大，故杆OA的重力势能增加，B正确．
故选BCD．

点评 本题考查考了杠杆平衡条件的应用及影响重力势能大小的因素，分析题意画出两种情况下的杠杆示意图是本题的关键．难度较大．