Question

18．如图所示的电路中，电源两端的电压不变．闭合开关S，当滑动变阻器接入电路中的电阻为R_A时，电压表示数为U₁，电流表示数为I₁，电阻R₁与滑动变阻器消耗的电功率之和为P₁；当滑动变阻器接入电路中的电阻为R_B时，电压表示数为U₂，电流表示数为I₂，电阻R₁与滑动变阻器消耗的电功率之和为P₂，且电阻R₂消耗的电功率变化了0.75W．已知：电阻R₁：R₂=1：2；U₁：U₂=2：3；I₂=0.1A；P₁=P₂．求：
（1）电流表的示数I₁ 与I₂的比值；
（2）电阻R₂的阻值；
（3）电阻R_B与R₁的比值；
（4）电路所消耗的最大电功率P_max．（请画出相关电路状态的等效电路图）

Answer 1

分析 由电路分析可知，三个电阻串联，先画出滑动变阻器接入电路中的电阻为R_A和R_B时的等效电路图．
（1）知道电阻R₁与滑动变阻器消耗的电功率之和以及电压表示数之比，根据P=UI求出电路中的电流；
（2）根据P=I²R表示出两图中R₂消耗的电功率之比，根据电阻R₂消耗的电功率变化了0.75W得出等式得出图乙中R₂消耗的电功率即可求出电阻R₂的阻值；
（3）根据欧姆定律表示出两图中电压表的示数之比即可得出R₁、R_A、R_B之间的关系，根据电源的电压不变得出R₁、R_A、R₂、R_B之间的关系，然后结合R₁、R₂的比值求出R₁、R_A、R_B的阻值，进一步求出电阻R_B与R₁的比值；
（4）根据串联电路的特点和欧姆定律结合图乙求出电源的电压，当滑动变阻器的滑片P在右端时，R₁和R₂串联，电路消耗功率最大，根据电阻的串联和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求出电路所消耗的最大电功率．

解答 解：当滑动变阻器接入电路中的电阻为R_A时，等效电路图如图甲所示；
当滑动变阻器接入电路中的电阻为R_B时，等效电路图如图乙所示．

（1）因P₁=U₁I₁，P₂=U₂I₂，P₁=P₂，U₁：U₂=2：3，
所以，由P=UI可得：
$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{\frac{{P}_{1}}{{U}_{1}}}{\frac{{P}_{2}}{{U}_{2}}}$=$\frac{{U}_{2}}{{U}_{1}}$=$\frac{3}{2}$；
（2）由P=I²R可得，甲乙两图中电阻R₂消耗的电功率之比：
$\frac{{P}_{R2}}{{P}_{R2}′}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}{R}_{2}}{{{I}_{2}}^{2}{R}_{2}}$=（$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$）²=（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，
由电阻R₂消耗的电功率变化了0.75W可得：
△P_R2=P_R2-P_R2′=$\frac{9}{4}$P_R2′-P_R2′=$\frac{5}{4}$P_R2′=0.75W，
解得：P_R2′=0.6W，
则电阻R₂的阻值：
R₂=$\frac{{P}_{R2}′}{{{I}_{2}}^{2}}$=$\frac{0.6W}{（0.1A）^{2}}$=60Ω；
（3）因串联电路中总电阻等于各分电阻之和，
所以，由I=$\frac{U}{R}$可得，两电压表的示数之比：
$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{{I}_{1}（{R}_{1}+{R}_{A}）}{{I}_{2}（{R}_{1}+{R}_{B}）}$=$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$×$\frac{{R}_{1}+{R}_{A}}{{R}_{1}+{R}_{B}}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{{R}_{1}+{R}_{A}}{{R}_{1}+{R}_{B}}$=$\frac{2}{3}$，
整理可得：5R₁+9R_A=4R_B-----------①
因电源的电压不变，
所以，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{B}+{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{A}+{R}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
整理可得：R₁+3R_A+R₂=2R_B--------------②
由题意可知，R₁：R₂=1：2----------③
由①②③式得：R₁=30Ω，R_B=60Ω，R_A=10Ω，
则$\frac{{R}_{B}}{{R}_{1}}$=$\frac{60Ω}{30Ω}$=$\frac{2}{1}$；
（4）电源的电压：
U=I₂（R₁+R_B+R₂）=0.1A×（30Ω+60Ω+60Ω）=15V，
当滑动变阻器的滑片P在右端时，R₁和R₂串联，如图丙所示，电路消耗功率最大，

则P_max=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{（15V）^{2}}{30Ω+60Ω}$=2.5W．
答：（1）电流表的示数I₁与I₂的比值为3：2；
（2）电阻R₂的阻值为60Ω；
（3）电阻R_B与R₁的比值为2：1；
（4）电路所消耗的最大电功率为2.5W．

点评 本题考查了串联电路的特点和欧姆定律、电功率公式的灵活应用，难点在于公式联立求解上，很多同学最怕这种全是用字母代替的题目，不过只要能做到思路清晰是可以顺利求解的．