Question

3．如图所示，在盛有水底面积为S₁的圆柱形容器内放有一木块A，A的底面积为S₂，在木块A 的下方用轻质细线悬挂一体积与之相同的金属块B，金属块B浸没在水内，而木块A刚好浸没在水中，水面正好与容器口相齐，某瞬间细线突然断开，待稳定后水面下降了h₁；然后取出金属块B，水面又下降了h₂；最后取出木块A，水面又下降了h₃；以下判断错误的是（　　）

• A． A物体的体积为（h₁+h₃）_^S1
• B． A与B的密度比h₃：（h₁+h₂）
• C． A与B的总质量为ρ_水S₁（h₁+h₂+h₃）
• D． 要把漂浮的A物体再次压没在水中，其上所放铁块的质量最小为ρ_水（S₂-S₁）h₁

Answer 1

分析 （1）根据物体取出时液面的下降分别得出物体AB的总体积和B的体积，然后即可求出A的体积；
（2）根据物体AB浸没时到此时木块A受到自身重力、浮力、向下的拉力，B受到重力、向上的拉力，和浮力的作用，当细线断开后，木块受到的浮力减小，减小的浮力等于金属块B的重力与金属块B所受浮力之差；根据此关系和阿基米德原理列出等式．
木块在液体中最后漂浮，受到的浮力等于自身重力，根据此关系和阿基米德原理列出等式，二式相比较即可得出结论．
（3）根据AB一起漂浮时利用漂浮条件即可求出总质量；
（4）要把漂浮的A物体再次压没在水中，根据漂浮条件和阿基米德原理即可求出．

解答 解：A、根据AB都取出后，水面共下降h₁+h₂+h₃，则AB物体的总体积为V_AB=S₁（h₁+h₂+h₃），根据取出金属块B，液面下降了h₂可知：V_B=Sh₂，则V_A=V_AB-V_B=S₁（h₁+h₂+h₃）-Sh₂=（h₁+h₃）S₁，故A正确；
B、当木块漂浮在水面上时，受到的浮力等于自身的重力，
F_浮2=G_A，则ρ_水gS₁h₃=ρ_AVg，
即ρ_AVg=ρ_水gSh₃ --------------------------①
根据细线突然断开，待稳定后液面下降了h₁可知：
细线断开后，木块A减小的浮力△F_浮1=ρ_水gV_排1=ρ_水gS₁h₁；
根据取出金属块B，液面下降了h₂可知：
金属块B所受浮力F_浮1=ρ_水gV_B=ρ_水gSh₂，
则金属块B的重力与金属块B所受浮力之差为G_B-ρ_水gS₁h₂=ρ_BVg-ρ_水gS₁h₂，
木块A与金属块B一起能漂浮在液面上，则金属块B的重力与金属块B所受浮力之差等于木块减小的浮力，
所以，ρ_水gS₁h₁=ρ_BVg-ρ_水gSh₂，
即：ρ_BVg=ρ_水gS₁h₁+ρ_水gS₁h₂ -----------------②
则①式与②式相比得：
$\frac{{ρ}_{A}Vg}{{ρ}_{B}Vg}$=$\frac{{ρ}_{水}g{S}_{1}{h}_{3}}{{ρ}_{水}g{S}_{1}+{ρ}_{水}g{S}_{1}{h}_{2}}$，
整理得：$\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{{h}_{3}}{{h}_{1}+{h}_{2}}$；故B正确；
C、金属块B在木块A下面，一起刚好浸没在水中时，根据漂浮条件可知：G=F_浮=ρ_水gV_AB=ρ_水gS₁（h₁+h₂+h₃），所以总质量m=ρ_水S₁（h₁+h₂+h₃），故C正确；
D、由于最后取出木块A水面又下降了h₃；根据木块漂浮可知：G_A=ρ_水gV_A排=ρ_水gS₁h₃；要把漂浮的A物体再次刚压没在水中时，F_浮′=G_A+G′，
所以，G′=F_浮′-G_A=ρ_水gV_A-ρ_水gS₁h₃=ρ_水g（h₁+h₃）S₁-ρ_水gS₁h₃=ρ_水gh₁；故D错误．
故选D．

点评 本题考查物体密度的大小比较，关键是对AB进行受力分析，找出AB所受浮力与液面降低的关系，这是本题的难点．减小的浮力用△F_浮，分别求减小的浮力、B的重、B受到的浮力，再得出关系式．