Question

10．如图是一种牲畜饮水用自动装置的示意图．水箱底部有一出水孔，底盖A可以顶住水箱的出水孔．只要牲畜饮水，饮水槽中的水位就会下降，浮球C受到的浮力减小，底盖A打开，水就会通过出水孔从水箱流入饮水槽自动补水．设计水箱的最高水位为h₁，水箱出水孔横截面积是30cm²，底盖A及竖杆B的总质量是400g，浮球C的体积是2dm³；若将浮球C换成同体积的浮球D，设计水箱的最高水位将变为h₂，已知将浮球C换成同体积的浮球D后，再次达到设计水箱的最高水位时，水箱底部受到水的压强减小了2000Pa，浮球C与浮球D的密度之比ρ_C：ρ_D=2：5．（g取10N/kg）
求：（1）浮球D的密度 ρ_D；
（2）设计水箱的最高水位h₁．

Answer 1

分析 本题要以底盖、竖杆、浮球为整体，进行受力分析．
（1）由于C球和D球的体积相同，所以两种情况下的浮力是相等的．列出两种情况下的浮力的表达式，然后根据将浮球C换成同体积的浮球D后，再次达到设计水箱的最高水位时，水箱底部受到水的压强减小了2000Pa这一条件求出浮球C和D的密度．
（2）把求得的浮球C的密度代入浮力的表达式即可得解．

解答 解：
（1）以底盖、竖杆、浮球为整体，如右图可知：整体受到向上的浮力F_浮、水向下的压力和底盖、竖杆、浮球的总重力作用；
底盖、竖杆、浮球的总重力G_总=G_AB+G_球=m_ABg+m_球g=m_ABg+ρ_球V_球g，
水对底盖A向下的压力F_压=pS，
由于底盖A刚刚能打开时，底盖、竖杆、浮球处于平衡状态，
则使用浮球C时：F_浮C=m_ABg+ρ_CgV_球+p₁S-----------①
使用浮球D时：F_浮D=m_ABg+ρ_DgV_球+p₂S-----------②
由于浮球C和浮球D的体积相同，则根据F_浮=ρ_液gV_排可知：F_浮C=F_浮D；
所以，m_ABg+ρ_CgV_球+p₁S=m_ABg+ρ_DgV_球+p₂S，
则：（ρ_D-ρ_C）gV_球=（p₁-p₂）S，
所以，ρ_D-ρ_C=$\frac{{（p}_{1}-{p}_{2}）S}{g{V}_{球}}$=$\frac{2000Pa×30×1{0}^{-4}{m}^{2}}{10N/kg×2×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=0.3×10³ kg/m³，
已知：ρ_C：ρ_D=2：5．
则ρ_C=0.2×10³ kg/m³，ρ_D=0.5×10³ kg/m³；
（2）由①式可得：F_浮C=m_ABg+ρ_CgV_球+p₁S，
结合阿基米德原理和液体压强公式可得：ρ_水gV_球=m_ABg+ρ_CgV_球+ρ_水gh₁S；
所以，设计水箱的最高水位：
h₁=$\frac{{ρ}_{水}{V}_{球}-{ρ}_{C}{V}_{球}-{m}_{AB}}{{ρ}_{水}S}$
=$\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×2×1{0}^{-3}{m}^{3}-0.2×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×2×1{0}^{-3}{m}^{3}-0.4kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×30×1{0}^{-4}{m}^{2}}$
=0.4m． 
答：（1）浮球D的密度 ρ_D为0.5×10³ kg/m³．
（2）设计水箱的最高水位h₁为0.4m．

点评 本题考查了学生对重力公式、阿基米德原理的掌握和运用，在做此种类型的题目时要求灵活选用公式．同时对物体的受力分析一定要准确．