Question

19．小芳在一端封闭、粗细均匀的玻璃管内装入适量的小铅丸，自制一支密度计．密度计能在液体中竖直漂浮，如图所示．
（1）现有一把直尺和一对三角板，请简要写出测量玻璃管底面直径（即外直径）d的合理方案（可用画图或文字表述）；
（2）已知水的密度为ρ_水，用天平测得装了铅丸的玻璃管总质量为m，请用题目所给及所测出的物理量推导出密度计在水中浸没的深度h的表达式（可能用到的数学公式：圆柱体体积V=Sh，圆的面积$S=\frac{{π{d^2}}}{4}$）．
（3）根据h的表达式，算出密度计在水中浸没的深度，在管上画出水的密度值线A（如图乙）；把密度计放入水中，静止时水面在刻度线B处，请你简要写出一种校准的方法．

Answer 1

分析 （1）由于玻璃管底面直径不便于直接测量，可借助于直尺和三角板进行转化，这种方法称为“辅助工具法”，用于测量哪些难于贴近的长度．
（2）要求密度计在纯水中浸没的深度，要利用密度计的使用原理，密度计在使用时处于平衡状态，此时浮力大小等于重力大小，浮力不变．然后利用浮力等于重力，求出排开液体体积的大小，再根据求出的体积，算出深度h．
（3）实践是检验真理的唯一标准，所以最后的结果要根据实际来校准最后的刻度线．若水面在刻度线以上，由于漂浮浮力等于重力，说明此时重力较大，为了与实际值相吻合，将铅丸取出，减小密度计的重力便可．

解答 解：（1）用刻度尺、三角板如下图测量密度计底面的直径；如下图所示：

（2）因为密度计处于静止状态，只受到浮力和重力．
根据二力平衡可知：F_浮=G，而F_浮=ρ_水gV_排，G=mg，故V_排=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$
已知V_排=Sh，S=$\frac{π{d}^{2}}{4}$，则h=$\frac{4m}{{ρ}_{水}π{d}^{2}}$．
（3）方法一：适当减少铅丸的质量，直至将密度计放在水中实验时水面与依理论计算画出的刻度线A相平．
方法二：按照实验时水面与密度计相平的实际位置（B）重画纯水的密度值刻度线（即将图乙中的B线改标为A）．
答：（1）如上图所示．
（2）密度计在纯水中浸没深度的表达式h=$\frac{4m}{{ρ}_{水}π{d}^{2}}$．
（3）方法一：适当减少铅丸的质量，直至将密度计放在水中实验时水面与依理论计算画出的刻度线A相平．
方法二：按照实验时水面与密度计相平的实际位置（B）重画纯水的密度值刻度线（即将图乙中的B线改标为A）．

点评 本题目比较复杂，这里所有的已知量均用字母表示，要现根据密度计的使用原理，利用公式求出最后的结果．