Question

5．证明：若将R₁与R₂并联后接在电压为U的电源上，在时间t内电流通过R₁产生的热量为Q₁，通过R₂产生的热量为Q₂，若将R₁与R₂串联，则t时间内两个电阻产生的总热量Q=$\frac{{Q}_{1}{Q}_{2}}{{Q}_{1}+{Q}_{2}}$．

Answer 1

分析 两电阻并联时它们两端的电压相等，根据Q=W=$\frac{{U}^{2}}{R}$t求出在时间t内电流通过R₁、R₂所产生的热量，进而得出电阻的表达式；
根据两电阻串联时求出总电阻，再根据焦耳定律的变形公式即可推导出t时间内两个电阻产生的总热量．

解答 证明：并联电路中各并联支路两端的电压相等，即：U₁=U₂=U，
由Q=I²Rt=$\frac{{U}^{2}}{R}$t得，在时间t内电流通过R₁产生的热量：
Q₁=$\frac{{U}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$t=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$t，
则：R₁=$\frac{{U}^{2}}{{Q}_{1}}$t，
在时间t内电流通过R₂产生的热量：
Q₁=$\frac{{U}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$t=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$t，
则：R₂=$\frac{{U}^{2}}{{Q}_{2}}$t，
若将R₁与R₂串联，电路总电阻：
R=R₁+R₂=$\frac{{U}^{2}}{{Q}_{1}}$t+$\frac{{U}^{2}}{{Q}_{2}}$t=$\frac{{U}^{2}t（{Q}_{1}+{Q}_{2}）}{{Q}_{1}{Q}_{2}}$，
则t时间内两个电阻产生的总热量：
Q=$\frac{{U}^{2}}{R}$t=$\frac{{U}^{2}}{\frac{{U}^{2}t（{Q}_{1}+{Q}_{2}）}{{Q}_{1}{Q}_{2}}}$t=$\frac{{Q}_{1}{Q}_{2}}{{Q}_{1}+{Q}_{2}}$．

点评 本题考查了串联电路的电阻特点和并联电路的电压特点以及焦耳定律的理解和掌握，灵活运用焦耳定律Q=I²Rt及其导出式Q=$\frac{{U}^{2}}{R}$t是本题正确解题的关键．