Question

20．如图所示，一个底面积为2×10^-2米²、质量是2千克的薄壁柱形容器放在水平桌面中央，容器高0.15米，内盛有0.1米深的水，求：
（1）水对容器底部的压强；
（2）容器对桌面压强；
（3）将质量为3千克的物体A轻轻放入水中，若使容器对地面的压强增加量△p_增大于水对容器底的压强增加量△p_容的2倍，请求出满足条件的物体A的密度的取值范围．

Answer 1

分析 （1）知道容器内水的深度，根据p=ρgh求出水对容器底部的压强；
（2）知道容器内水的深度和容器的底面积可求水的体积，根据m=ρV求出水的质量，容器对桌面压力等于水和容器的重力之和，根据p=$\frac{F}{S}$求出容器对桌面压强；
（3）将质量为3千克的物体A轻轻放入水中后，分别讨论水溢出或不溢出、物体漂浮或沉底时四种情况，根据密度公式和液体压强公式、体积公式、压强公式进行分析解答．

解答 解：（1）水对容器底部的压强：
p_水=ρ_水gh_水=1.0×10³kg/m³×9.8N/kg×0.1m=980Pa；
（2）容器内水的体积：V_水=Sh_水=2×10^-2m²×0.1m=2×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×2×10^-3m³=2kg，
容器对桌面的压力：
F=G=（m_容+m_水）g=（2kg+2kg）×9.8N/kg=39.2N，
容器对桌面压强：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{39.2N}{2×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=1960Pa；
（3）将质量为3千克的物体A轻轻放入水中后，
①若水未溢出且物体A漂浮时，容器对桌面压力的增加量=水对容器底的增加量相等=G_物，
所以，由p=$\frac{F}{S}$可知，容器对地面的压强增加量等于水对容器底的压强增加量，则此种情况不可能；
②若水未溢出且物体A浸没时，
因物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，
所以，V_排=V_A=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}}$，
容器内水的深度变化量：
△h=$\frac{△{V}_{排}}{S}$=$\frac{\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}}}{S}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}S}$，
水对容器底的压强增加量：
△p_容=ρ_水g△h=ρ_水g$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}S}$，
因水平面上物体的压力和自身的重力相等，
所以，容器对地面的压强增加量：
△p_增=$\frac{△F}{S}$=$\frac{{m}_{A}g}{S}$，
因容器对地面的压强增加量△p_增大于水对容器底的压强增加量△p_容的2倍，
所以，$\frac{{m}_{A}g}{S}$＞2ρ_水g$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}S}$，
则ρ_A＞2ρ_水=2×1.0×10³kg/m³=2.0×10³kg/m³；
③若水溢出且物体A漂浮时，容器对桌面压力的增加量=容器内水的增加量=G_物-G_溢水，
所以，由p=$\frac{F}{S}$可知，容器对地面的压强增加量等于水对容器底的压强增加量，则此种情况不可能；
④若水溢出且物体A浸没时，物体排开水的体积为V_排=V_A=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}}$，
则溢出水的体积：
V_溢水=V_排-S△h=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}}$-S△h，
溢出水的质量：
m_溢水=ρ_水V_溢水=ρ_水（$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}}$-S△h）=$\frac{{ρ}_{水}{m}_{A}}{{ρ}_{A}}$-ρ_水S△h，
容器对地面的压强的增加量：
△p_增=$\frac{△F}{S}$=$\frac{（{m}_{A}-{m}_{溢水}）g}{S}$=$\frac{{[m}_{A}-（\frac{{ρ}_{水}{m}_{A}}{{ρ}_{A}}-{ρ}_{水}S△h）]g}{S}$，
因容器对地面的压强增加量△p_增大于水对容器底的压强增加量△p_容的2倍，
所以，$\frac{{[m}_{A}-（\frac{{ρ}_{水}{m}_{A}}{{ρ}_{A}}-{ρ}_{水}S△h）]g}{S}$＞2ρ_水g△h，
整理可得：
ρ_A＞$\frac{{m}_{A}}{{m}_{A}-{ρ}_{水}S△h}$ρ_水=$\frac{3kg}{3kg-1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×2×1{0}^{-2}{m}^{2}×0.05m}$×1.0×10³kg/m³=1.5×10³kg/m³，
综上可知，满足条件的物体A的密度的取值范围为ρ_A＞1.5×10³kg/m³．
答：（1）水对容器底部的压强为980Pa；
（2）容器对桌面压强为1960Pa；
（3）物体A的密度的取值范围为ρ_A＞1.5×10³kg/m³．

点评 本题考查了液体压强公式和固体压强公式、物体浮沉条件、阿基米德原理的应用，讨论出符合要求A的状态是关键．