Question

（2009?大兴区二模）如图所示，电源电压保持不变，将滑动变阻器的滑片P置于b端，只闭合S₁时，电压表V₁的示数为U₁，电压表V₂的示数为U₂；将滑动变阻器的滑片P置于a端，只闭合S₁时，电压表V₁的示数为U₁′，电压表的示数为U₂′，R₁消耗的电功率为0.81W；将滑动变阻器的滑片P置于某点c，只闭合S₁时，电压表V₁的示数为U₁″，电压表V₂的示数为U₂″，滑动变阻器消耗的电功率为P_c．已知U₁：U₁′=4：7，U₂：U₂′=2：1，U₁：U₁″=3：5．求：
（1）R₁与R₂的比值；
（2）P_c的大小；
（3）滑动变阻器的滑片P置于a端只闭合S₁、S₃与S₁、S₂、S₃都闭合时，两次电流表示数之比．

Answer 1

分析：首先根据滑动变阻器滑片位置和开关的开合画出相应的等效电路图．
（1）根据欧姆定律表示出图1和图2中电流表V₂的示数求出两电路的电流关系，再根据电阻的串联和欧姆定律表示出两图中电压表V₁的示数得出滑动变阻器最大阻值与R₁之间的关系，再根据电阻的串联和欧姆定律表示出电源的电压，利用电源的电压不变得出等式即可求出R₁与R₂的比值；
（2）根据电阻的串联特点和欧姆定律表示出图2与图3中电源的电压，利用电源的电压不变得出等式即可求出两图中的电流之比，根据P=I²R表示出图2中R₁消耗的电功率和图3中滑动变阻器消耗的电功率即可求出P_c的大小；
（3）根据欧姆定律表示出图4中电流表的示数，根据并联电路的电压特点和电流特点表示出图5中电流表的示数，进一步求出滑动变阻器的滑片P置于a端只闭合S₁、S₃与S₁、S₂、S₃都闭合时电流表的示数之比．

解答：解：将滑动变阻器的滑片P置于b端，只闭合S₁时，等效电路图如图1所示；
将滑动变阻器的滑片P置于a端，只闭合S₁时，等效电路图如图2所示；
将滑动变阻器的滑片P置于某点c，只闭合S₁时，等效电路图如图3所示；
滑动变阻器的滑片P置于a端只闭合S₁、S₃与S₁、S₂、S₃都闭合时，等效电路图分别如图4和图5所示．

（1）图1和图2中，
∵I=

U

R

，
∴

U2

U2′

=

I1R2

I2R2

=

I1

I2

=

2

1

，
则

U1

U1′

=

I1R1

I2(R1+Ra)

=

I1

I2

×

R1

R1+Ra

=

2

1

×

R1

R1+Ra

=

4

7

，
解得：R_a=2.5R₁，
∵电源的电压不变，
∴

I1

I2

=

R1+Ra+R2

R1+R2

=

R1+2.5R1+R2

R1+R2

=

3.5R1+R2

R1+R2

=

2

1

，
整理可得：

R1

R2

=

2

3

；
（2）图2和图3中，
∵电源的电压不变，
∴

I2

I3

=

R1+RC+R2

R1+Ra+R2

=

R1+ 1 2 ×2.5R1+1.5R1

R1+2.5R1+1.5R1

=

3

4

，
∵P₁=0.81W，
∴P₂=I₃²R_C=（

4I2

3

）²×

1

2

×2.5R₁=

20

9

I₂²R₁=

20

9

×P₁=

20

9

×0.81W=1.8W；
（3）图4中，电流表的示数：
I₄=

U

R1

，
图5中，∵并联电路中各支路两端的电压相等，且干路电流等于各支路电流之和，
∴I₅=

U

R1

+

U

Ra

+

U

R2

=

U

R1

+

U

2.5R1

+

U

1.5R1

=

26U

15R1

，
∴I₄：I₅=

U

R1

：

26U

15R1

=15：26．
答：（1）R₁与R₂的比值为2：3；
（2）P_c的大小为1.8W；
（3）滑动变阻器的滑片P置于a端只闭合S₁、S₃与S₁、S₂、S₃都闭合时，两次电流表示数之比为12：26．

点评：本题目难度较大，需要学生先化简电路图，就开关断开闭合时画出合适的电路图，并且结合欧姆定律、电功率公式及其相关的比例关系，利用数学知识解决相关知识点．