Question

15．天津振兴工厂为了给正立方体工件表面均匀地涂上密度为ρ₀的油，需要用竖直向下的力F把漂浮在油面上的工件缓缓地压入油内，如图1所示，盛油的直壁容器底面积为S₀，工件下表面与油面的距离为h，压力F与h的大小关系如图2所示．请你根据提供的信息解答：

（1）工件的重力；
（2）推导出工件从漂浮状态到上表面与油面相平的过程中，压力F随h变化的关系式；
（3）工件从漂浮状态到上表面与油面相平的过程中，重力所做的功．

Answer 1

分析 （1）根据图中信息得出工件的棱长，求出其体积，再由图得出工件静止时下表面与油面的距离，求出工件排开水的体积，然后利用阿基米德原理可求出浮力．根据浮力与重力是一对平衡力得出工件的重力；
（2）工件从漂浮状态到上表面与油面相平的过程中，受到三个力的作用，压力、浮力与重力，由此推导出压力F随h变化的关系式；
（3）根据W=Fs=Gh可求出重力所做的功．

解答 解：（1）工件下表面与油面的距离为h₂时压力不变，可知工件的棱长为h₂，
工件漂浮在油面上时，工件浸入的深度为h₁，
所以V_排=h₂²h₁，
工件的重力：G=F_浮=ρ₀gV_排=ρ₀gh₂²h₁；
（2）根据阿基米德原理，工件从漂浮状态到上表面与油面相平的过程中，
压力F=ρ₀gV_排-G=ρ₀gh₂²h-ρ₀gh₂²h₁=ρ₀gh₂²（h-h₁）；
（3）工件从漂浮到浸没，排开油的体积增大量：△V_排=S_工（h₂-h₁）=h₂²（h₂-h₁），
则油面上升的高度：△h_上升=$\frac{△{V}_{排}}{{S}_{0}}$=$\frac{{h}_{2}^{2}（{h}_{2}-{h}_{1}）}{{S}_{0}}$，
因为油面上升高度与工件下降高度之和=浸入深度的增加量，
所以工件下降的高度：h_下降=（h₂-h₁）-△h_上升=（h₂-h₁）-$\frac{{h}_{2}^{2}（{h}_{2}-{h}_{1}）}{{S}_{0}}$=$（{h}_{2}-{h}_{1}）•（1-\frac{{h}_{2}^{2}}{{S}_{0}}）$，
工件从漂浮状态到上表面与油面相平的过程中，重力所做的功为：
W=Fs=Gh_下降=ρ₀gh₂²h₁$（{h}_{2}-{h}_{1}）•（1-\frac{{h}_{2}^{2}}{{S}_{0}}）$
答：（1）工件的重力为ρ₀gh₂²h₁；
（2）压力F随h变化的关系式为ρ₀gh₂²（h-h₁）；
（3）工件从漂浮状态到上表面与油面相平的过程中，重力所做的功为ρ₀gh₂²h₁$（{h}_{2}-{h}_{1}）•（1-\frac{{h}_{2}^{2}}{{S}_{0}}）$．

点评 本题考查了工件重力和浮力的计算，关键是利用数学知识得出力F与h的大小关系式，对学生的读图能力要求较高．