Question

6．工人用如图所示的滑轮组和竹筐把质量为1t的沙子提升到高处．已知竹筐能承受的最大压强为3000Pa，竹筐的底面积为3600cm²，工人提空筐上去时用力大小为60N，g=10N/kg，不计绳重和摩擦．求：
（1）工人提升880N的沙子上升了3m，用时30s，则工人做功的功率是多少？
（2）在保证安全的情况下，工人每次提升多重的沙子，装置的机械效率最大？为多少？
（3）若把全部沙子提升到3m高处，工人至少要做多少额外功？

Answer 1

分析 （1）已知动滑轮上有两端绳子，先求出动滑轮和空筐的重力，再求出提升880N沙子时绳端拉力大小，最后利用公式P=Fv求出功率的大小；
（2）先求出一次能提升沙子的最大重力，再利用公式η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$求出机械效率的大小；
（3）先求出把1t的沙子提完，则至少要提多少次，再求出每一次的额外功大小，最后求出都提完总共做的额外功大小．

解答 解：（1）由图可知，n=2；
不计绳重和摩擦，提升空筐时，拉力F=$\frac{{G}_{动}+{G}_{框}}{2}$，
所以G_动+G_筐=2F=2×60N=120N，
提升880N沙子时，绳端的拉力：F′=$\frac{{G}_{动}+{G}_{框}+{G}_{沙}}{2}$=$\frac{120N+880N}{2}$=500N，
重物移动的速度：v_物=$\frac{h}{t}$=$\frac{3m}{30s}$=0.1m/s，
工人做功的功率：
P=F′v_绳=F′nv_物=500N×2×0.1m/s=100W；
（2）一次能提升沙子的最大重力：
G_沙′=F=pS=3000Pa×3600×10^-4m²=1080N，此时滑轮组的机械效率最大，
滑轮组的最大机械效率：
η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$=$\frac{{G}_{沙}′h}{{G}_{沙}′h+{G}_{动}h+{G}_{框}h}$=$\frac{{G}_{沙}′}{{G}_{沙}′+{G}_{动}+{G}_{框}}$=$\frac{1080N}{1080N+120N}$×100%=90%；
（3）要把1t的沙子提完，至少要提升的次数：
n=$\frac{{G}_{沙总}}{{G}_{沙}′}$=$\frac{1000kg×10N/kg}{1080N}$=9.26，
所以要把1t的沙子提完，则至少要提10次．
每一次所做的额外功：W_额=（G_动+G_筐）h=120N×3m=360J，
所以，要提完1t的沙子总共做的额外功为：W_额总=360J×10=3600J．
答：（1）工人提升880N的沙子上升了3m，用时30s，则工人做功的功率是100W；
（2）在保证安全的情况下，工人每次提升1080N的沙子，装置的机械效率最大，此时装置的机械效率是90%；
（3）若把全部的沙子提升到3m高处，则工人至少要做额外功3600J．

点评 本题考查了功和功率、机械效率的计算，关键是公式及其变形的灵活应用，解题过程中要注意单位的换算．