Question

9．如图所示，是某“汤勺”示意图，由一细长柄AB与一半球BC构成，且AB与半球相切，切点为B．已知半球的半径为R，AB柄的长度为L，L：R=$\sqrt{15}$：1，现用一细线系住A点，并将细线竖直悬挂．“汤勺”内盛满密度为1.2×10³kg/m³的汤，如果不计“汤勺”的质量，则“汤勺”所盛汤的最大深度是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$R
• B． $\frac{2}{3}$R
• C． $\frac{1}{3}$R
• D． $\frac{1}{4}$R

Answer 1

分析 用细线悬挂“汤勺”时，细线延长线过“汤勺”的重心，过球形勺的球心；
根据题意作图，根据数学知识求出“汤勺”内水的最大高度．

解答 解：（1）过A作水面的垂线，垂足为E，垂线与BC交于点F，
水面与“汤勺”的另一交点为D，如图所示．
（2）由作图过程及数学知识可知：直线AE一定过半球的球心，
点F就是半球的球心BF=CF=R；由题意知：AB=L，L：R=$\sqrt{15}$：1，
所以AB=$\sqrt{15}$R，△CEF是直角三角形；
△ABF∽△CEF，由相似三角形的知识得：$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BF}{EF}$，
所以CE=$\frac{AB}{BF}$=$\frac{\sqrt{15}R}{R}$EF=$\sqrt{15}$EF，即CE=$\sqrt{15}$EF；
在直角△CEF中，由勾股定理得：CE²+EF²=CF²，即：（$\sqrt{15}$EF）2+EF²=R²，
则EF=$\frac{R}{4}$，则“汤勺”内水的最大高度是h=R-EF=R-$\frac{R}{4}$=$\frac{3}{4}$R．
故选A．

点评 本题考查了求“汤勺”中水的深度，正确作图、灵活应用数学知识解题是本题解题的关键．