Question

在如图所示的电路中，电源两端的电压U保持不变，将滑动变阻器的滑片P置于某位置a，其接入电路的电阻值为R_a，闭合开关S₁、断开开关S₂、S₃，电阻R₁消耗的电功率P₁=0.8W，电压表V₁的示数为U₁，电流表A的示数为I₁；将滑动变阻器的滑片P置于最左端，闭合开关S₁、断开开关S₂、S₃，电阻R₁消耗的电功率P′₁=1.8W，电路消耗的总功率为P，电流表A的示数为I₂；将滑动变阻器的滑片P置于某位置b，其接入电路的电阻值为R_b，闭合开关S₁、断开开关S₂、S₃，电路消耗的总功率为P′，电压表V₂的示数为U₂．已知：P：P′=2：1，U₁：U₂=4：5．求：
（1）I₁与I₂的比值；
（2）R_a与R_b的比值；
（3）当滑动变阻器的滑片P置于位置a或位置b，并通过开关的断开或闭合改变电路结构，使电路消耗的电功率最大，则此最大电功率为多大．

Answer 1

分析：先画出三种情况的等效电路图：
（1）根据P=I²R结合图甲和图乙中电阻R₁消耗的电功率求出I₁与I₂的比值．
（2）根据P=UI结合图乙和图丙中电路消耗的总功率求出两者的电流之比，再根据电源的电压不变分别根据欧姆定律和电阻的串联特点表示出电源的电压，利用电流关系分别得出R_a和R_b与R₁、R₂之间的关系，进一步求出R_a与R_b的比值．
（3）由实物电路图可知，因为R_a＜R_b，所以当所有开关均闭合，滑动变阻器的滑片P置于位置a时，电路消耗的总功率最大；先根据以上关系求出图甲和图乙的电流关系，根据欧姆定律结合电压表的示数关系求出R₁、R₂、R_a三电阻之间的关系；根据串联电路电阻的分压特点得出图甲中R₁两端的电压与电源电压之间的关系，根据电功率公式表示出电阻R₁消耗的电功率，把以上关系带入图丁即可求出电路消耗的最大功率．

解答：解：将滑动变阻器的滑片P置于某位置a，闭合开关S₁、断开S₂、S₃时，等效电路如答图甲所示；
将滑动变阻器的滑片P置于最左端，闭合开关S₁、断开S₂、S₃时，等效电路如答图乙所示；
将滑动变阻器的滑片P置于某位置b，闭合开关S₁、断开S₂、S₃时，等效电路如答图丙所示．

（1）∵P=I²R，且P₁=0.8W，P₁′=1.8W，
∴

I1

I2

=

2

3

------------------①
（2）∵P=UI，且P：P′=2：1，
∴

I2

I3

=

2

1

------------------②
∵电源的电压不变，
∴由甲、乙两图可得：U=I₂（R₁+R₂）=I₁（R₁+R_a+R₂）----③
由乙、丙两图可得：U=I₂（R₁+R₂）=I₃（R₁+R_b+R₂）------④
由①②③④可得：
2R_a=R₁+R₂------------------------⑤
R_b=R₁+R₂------------------------⑥
∴R_a：R_b=1：2；
（3）因为R_a＜R_b，所以当所有开关均闭合，滑动变阻器的滑片P置于位置a时，电路消耗的总功率最大，其等效电路如答图丁所示．

由①②两式可知

I1

I3

=

4

3

-----------------⑦
∵U=IR，
∴

U1

U2

=

I1R1

I3(Rb+R2)

=

4

5

---------------⑧
由⑤⑥⑦⑧可得：

R1

R2

=

3

1

，

R1

Ra

=

3

2

；
由图甲可得：U₁=

R1

R1+R2+Ra

U=

R1

R1+ 1 3 R1+ 2 3 R1

U=

U

2

，P₁=

U 2 1

R1

=0.8W，
解得

U2

R1

=3.2W，
根据P_max=

U2

R1

+

U2

R2

+

U2

Ra

=

(2U1)2

R1

+

(2U1)2

1 3 R1

+

(2U1)2

2 3 R1

=22

U 2 1

R1

=22×0.8W=17.6W．
答：（1）I₁与I₂的比值为2：3；
（2）R_a与R_b的比值为1：2；
（3）电路消耗的电功率最大电功率为17.6W．

点评：题考查了学生对串、并联电路的判断，串联电路的特点以及欧姆定律、电功率公式的应用．本题难点在于很多同学无法将三种状态下的功率关系及电压关系联系在一起，故无法找到突破口．解答此类问题时，可将每一种情况中的已知量和未知量都找出来，仔细分析找出各情况中的关联，即可求解．