Question

（2007?大兴区一模）育兴学校科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模型．为了分析接入电路的电阻对电热器的电功率的影响，他们将电表接入电路中，其电路图如图所示．电源两端电压不变，R₁=10Ω．开关S₁、S₂都断开或都闭合所形成的两个电路状态中，电压表示数之比为1：6；R₂消耗的最大功率和最小功率之比为4：1；R₃的最小功率为0.8W．求：
（1）电阻R₂的值；
（2）电源两端的电压；
（3）这个电热器可能有多少个档位，分别是多少瓦．

Answer 1

分析：先画出开关S₁、S₂都断开或都闭合时的等效电路图．
（1）根据图2可知电压表的示数和电源的电压相等，根据串联电路的电流特点和电阻的串联特点表示出图1中电压表示数与电源的电压之间的关系得出电阻之间的关系，根据P=I²R表示出图1中R₂消耗的最小功率，根据P=

U2

R

表示出R₂消耗的最大功率，利用R₂消耗的最大和最小功率之间的关系得出电源的电压，根据欧姆定律表示出电路中的总电阻得出之间的关系，联立等式即可得出电阻R₂的值；
（2）先求出R₃的阻值，根据P=I²R表示出R₃的最小功率即可求出图1中电路中的电流，再根据电阻的串联和欧姆定律求出电源的电压；
（3）根据开关的闭合、断开得出电路不同的连接方式、再分别根据P=I²R和P=

U2

R

求出对应的电功率．

解答：解：开关S₁、S₂都断开时，等效电路图如图1所示；开关S₁、S₂都都闭合时，等效电路图如图2所示．

（1）由图1和图2可知，U₁：U=1：6，
∵串联电路中各处的电流相等，且电路中总电阻等于各分电阻之和，
∴根据欧姆定律可得：

U1

U

=

IR1

I(R1+R2+R3)

=

R1

R1+R2+R3

=

1

6

，
整理可得：R₂+R₃=5R₁--------①
∵R₂消耗的最大功率和最小功率之比为4：1，
∴根据P=I²R和P=

U2

R

可得：

U2

R2

=4I²R₂，
解得：U=2IR₂，即

U

I

=2R₂，
电路中的总电阻：
R₁+R₂+R₃=

U

I

=2R₂-----------②
由①②可得：R₂=3R₁=3×10Ω=30Ω；
（2）R₃=5R₁-R₂=5×10Ω-30Ω=20Ω，
∵P=I²R，P₃=0.8W，
∴图1中的电流：
I=

P3 R3

=

0.8W 20Ω

=0.2A，
电源的电压：
U=I（R₁+R₂+R₃）=0.2A×（10Ω+30Ω+20Ω）=12V；
（3）由电路图可知，当开关S₁和S₂均断开时，R₁、R₂、R₃串联，
此时电路中的总功率：
P₁=UI=12V×0.2A=2.4W；
当开关S₁闭合、S₂断开时，电路为R₃的简单电路，
电路中的总功率：
P₂=

U2

R3

=

(12V)2

20Ω

=7.2W；
当开关S₁断开、S₂闭合时，电路为R₁的简单电路，
电路中的总功率：
P₃=

U2

R1

=

(12V)2

10Ω

=14.4W；
当开关S₁和S₂均闭合时，R₁、R₂、R₃并联，
电路中的功率：
P₄=

U2

R1

+

U2

R2

+

U2

R3

=

(12V)2

10Ω

+

(12V)2

30Ω

+

(12V)2

20Ω

=14.4W+4.8W+7.2W=26.4W．
答：（1）电阻R₂的值为30Ω；
（2）电源两端的电压为12V；
（3）这个电热器可能有四个档位，分别是2.4W、7.2W、14.4W、26.4W．

点评：本题考查了串联电路和并联电路的特点以及欧姆定律的应用，关键是开关闭合、断开时电路连接方式的辨别和画出电路最大以及最小电功率的等效电路图．