Question

15．如图所示，甲圆柱形容器中装有适量的水．将密度均匀的木块A放入水中静止时，有$\frac{2}{5}$的体积露出水面，如图乙所示，此时水对容器底部的压强比图甲水对容器底部的压强增大了P₁．若在木块A上表面轻放一个质量为m₁的物块，平衡时木块A仍有部分体积露出水面，如图丙所示，此时水对容器底部的压强比图甲水对容器底部的压强增加了P₂．若将容器中的水换成另一种液体，在木块A上表面轻放一个质量为m₂的物块，使平衡时木块A露出液面部分与丙图相同，如图丁所示．若m₁：m₂=5：1．
（1）在木块A上表面轻放一个质量为m₁的物块平衡时，如图丙所示，木块A露出水面的部分占自身体积的多少？
（2）另一种液体的密度为多少？

Answer 1

分析 （1）设A的体积为V、容器的底面积为S，由于容器为圆柱形容器，在水中放入木块A后，A在水中漂浮，容器底受到的压力的变化值等于木块A的重力；而木块受到的浮力等于木块的重力，则可根据p=$\frac{F}{S}$得到压力的变化值△F₁；同理，比较甲丙图，得到压力的变化值△F₂，利用两次压力的变化值的比值，可求丙图排开水的体积大小，进而求出木块A露出水面的部分占自身体积比值；
（2）在丙图中，由于m₁和A漂浮，根据漂浮条件可得ρ_水g$\frac{4}{5}$V=G_A+m₁g，求出m₁g的大小；在丁图中，由于m₂和A漂浮，根据漂浮条件可得ρ_液g$\frac{4}{5}$V=G_A+m₂g，求出m₂g的大小；由题知m₁：m₂=5：1，据此求出另一种液体的密度．

解答 解：（1）设A的体积为V、容器的底面积为S，
由图乙知，A在水中漂浮，
所以F_浮=ρ_水V_排g=ρ_水$\frac{3}{5}$Vg=G_A，
甲图和乙图比较，容器底受到的压力差：△F₁=G_A，
根据p=$\frac{F}{S}$可得，△F₁=p₁S=ρ_水$\frac{3}{5}$Vg      ①
同理，比较甲丙图可得，△F₂=p₂S=ρ_水V_排g      ②
$\frac{①}{②}$得：V_排=$\frac{3{p}_{2}}{5{p}_{1}}$V，
所以，木块A露出水面的部分为V_露=V-V_排=V-$\frac{3{p}_{2}}{5{p}_{1}}$V=（1-$\frac{3{p}_{2}}{5{p}_{1}}$）V；
（2）由（1）知，G_A=ρ_水$\frac{3}{5}$Vg，
由图乙和图丙知，m₁g=ρ_水gV_排-G_A，
同理，由图乙和图丁知，m₂g=ρ_液gV_排-G_A，
又知，m₁：m₂=5：1，则m₁g：m₂g=5：1，
所以，$\frac{{m}_{1}g}{{m}_{2}g}$=$\frac{{ρ}_{水}g{V}_{排}-{G}_{A}}{{ρ}_{液}g{V}_{排}-{G}_{A}}$=$\frac{{ρ}_{水}g\frac{3{p}_{2}}{5{p}_{1}}V-{G}_{A}}{{ρ}_{液}g\frac{3{p}_{2}}{5{p}_{1}}V-{G}_{A}}$=$\frac{5}{1}$，
解得，ρ_液=$\frac{{ρ}_{水}}{5}$（1+$\frac{4{p}_{1}}{{p}_{2}}$）．
答：（1）木块A露出水面的部分占自身体积的1-$\frac{3{p}_{2}}{5{p}_{1}}$；
（2）另一种液体的密度为$\frac{{ρ}_{水}}{5}$（1+$\frac{4{p}_{1}}{{p}_{2}}$）．

点评 本题为力学综合题，考查了学生对阿基米德原理、压强定义式、物体的漂浮条件的掌握和运用，知道容器为圆柱形容器，在水中放入漂浮的物体，容器底受到的压力的变化值等于放入物体的重力是本题的突破口．