Question

在一圆柱形容器中盛有水，水面漂浮着一个小容器，当将一个实心球放入小容器中后，大容器中的水面上升的高度是7cm，如如图所示，若把这个实心球从小容器中取出放入大容器中的水里后，水面又降低了2cm，求这个实心球的密度是多少？（小容器的质量忽略不计）

Answer 1

解：设大容器的底面积为S，
因为实心球放入小容器中后是漂浮的，所以G_球=F_浮，
由阿基米德原理可知，F_浮=G_排，
则G_球=G_排，因此m_球=m_排，
根据题意可得：m_排=ρ_水（S×0.07m），所以m_球=ρ_水（S×0.07m），
因为实心球从小容器中取出放入大容器中的水里后，水面又降低了2cm，则可知V_排减小，浮力减小，此时重力大于浮力，所以实心球放入水中后是下沉的，
则当实心球放入大容器中后，实心球的体积等于实心球排开水的体积，即V_球=V_排′=S×（0.07m-0.02m），
所以实心球的密度：ρ_球===ρ_水×=1.0×10³kg/m³×1.4=1.4×10³kg/m³．
答：这个实心球的密度是1.4×10³kg/m³．
分析：本题中没有告诉实心球的质量和体积，所以不能直接根据密度公式ρ=算实心球的密度，但要算密度还是得围绕ρ=去分析，所以要算密度，我们就需要想办法知道它的质量和体积．
根据题意，质量可根据浮力知识去求解．因为实心球放入小容器中后是漂浮的，所以实心球的重力等于实心球受到的浮力，根据阿基米德原理可知，实心球受到的浮力等于它排开的液体所受的重力，所以G_物=F_浮=G_排，则G_物=G_排，两边都除以g，可得m_物=m_排．排开水的质量等于水的密度、大容器的底面积、大容器中的水面上升的高度的乘积．
根据题意，由于实心球从小容器中取出放入大容器中的水里后，水面又降低了2cm，则可知V_排减小，浮力减小，此时重力大于浮力，所以实心球放入水中后是下沉的，故实心球的体积等于它排开水的体积，它排开水的体积等于大容器的底面积与（7cm-2cm）的乘积．
点评：本题有一定的难度，考查了学生的综合分析能力．解答本题的关键是对实心球质量和体积的求解，质量需要根据物体的浮沉条件和阿基米德原理进行求解，体积需要根据实心球前后V_排的变化和物体的浮沉条件去分析．要掌握当物体漂浮在液面上时，G_物=F_浮=G_排；当物体浸没在液体中时，V_物=V_排．