Question

演绎式探究：

现在，叶子和小雨要研究有关电场强弱的问题：
（1）电场强度：
我们知道，磁体周围存在磁场；同样，带电体周围存在电场．我们用电场强度E表示电场的强弱．在电场中各点E的大小一般是不同的，E越大，表示该点电场越强．不同点E的方向也一般不同．
如图所示，若一个小球带的电量为q，则与其距离为r的A点处的电场强度大小为E=k

q

r2

（k为常数），这说明距离带电体越远，电场越

 

．A点处E的方向如图中箭头所示．
（2）环形带电体的电场强度：
如图所示，有一个带电均匀的圆环，已知圆环的半径为R，所带的总电最为Q．过圆环中心O点作一垂直于圆环平面的直线，那么在此直线上与环心相距为x的P点处的电场强度E_P的表达式是怎样的呢？
小雨首先把圆环均匀分割为许多等份，每一等份的圆弧长度为△l，则每一等份的电量为

 

；每一等份可以看作一个带电小球，则每一等份在P点所产生的电场强度的大小为E₁=

 

；E₁沿着OP方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=

 

．
E_P的大小等于圆环上所有等份的E_1x大小之和，即E_P=

 

．

Answer 1

分析：（1）由电场强度大小的公式直接判断；
（2）①求出圆环的周长，再计算△L的弧上的电量；
②利用勾股定理得出点P的距离的平方，把△L的弧上的电量代入场强公式E=k

q

r2

可得P点所产生的电场强度的大小；
③利用三角形余弦公式计算E₁沿着OP方向的分量E_1x；
④E_P的大小是E_P=E_1x×

2πR

△L

．

解答：解：（1）据题意由电场强度大小的公式E=k

q

r2

可知，当r增大时E变小，所以距离带电体越远，电场越弱；
（2）①半径为R的圆环的周长是2πR，圆弧长度为△L的弧上的电量为：△L×

Q

2πR

=

Q△L

2πR

；
②由勾股定理可知，△L处到点P的距离的平方：r²=R²+x²，
∴P点所产生的电场强度的大小为E₁=k

q

r2

=k×

Q△L 2πR

R2+x2

=k

Q△L

2πR(R2+x2)

，
③cos∠E₁PE_1x=

x

(R2+x2)  1 2

，
∴E₁沿着OP方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=

kQx△L

2πR(R2+x2)  3 2

，
④E_P的大小是：E_P=E_1x×

2πR

△L

=

kQx△L

2πR(R2+x2)  3 2

×

2πR

△L

=

kQx

(R2+x2)  3 2

，
故答案是：弱；

Q△L

2πR

；k

Q△L

2πR(R2+x2)

；

kQx△L

2πR(R2+x2)  3 2

；

kQx

(R2+x2)  3 2

．

点评：此题是一道实验探究题，需要结合数学知识进行计算，属于难题．