Question

3．把同种材料制成的甲、乙两个实心正方体放在水平桌面上，甲、乙对桌面的压强分别为P₁和P₂，如果按图所示的方法把甲放在乙的上方，则乙对地面的压强为$\frac{{{p}_{1}}^{3}+{{p}_{2}}^{3}}{{{p}_{2}}^{2}}$，将甲和乙放入足够多的水中静止时它们所受的浮力之比为$\frac{{{p}_{1}}^{3}}{{{p}_{2}}^{3}}$．

Answer 1

分析 （1）水平面上物体的压力和自身的重力相等，根据重力公式、密度公式、体积公式、压强公式得出正方体对水平地面的压强，然后表示出甲、乙正方体的边长，按图所示的方法把甲放在乙的上方时，乙对地面的压力等于甲乙的重力之和，根据p=$\frac{F}{S}$得出乙对地面的压强；
（2）将甲和乙放入足够多的水中静止后，若材料的密度大于或等于水的密度时，它们排开水的体积和自身的体积相等，根据阿基米德原理求出两者受到的浮力之比；若材料的密度小于水的密度时，它们受到的浮力等于自动的重力，根据密度公式和重力公式求出两者受到的浮力之比．

解答 解：（1）正方体对水平地面的压强：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρVg}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρgh，
设两正方体的密度为ρ，边长分别为L_甲和L_乙，则
L_甲=$\frac{{p}_{1}}{ρg}$，L_乙=$\frac{{p}_{2}}{ρg}$，
如果按图所示的方法把甲放在乙的上方，则乙对地面的压强：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{{G}_{甲}+{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{m}_{甲}g+{m}_{乙}g}{{S}_{乙}}$=$\frac{ρ{{L}_{甲}}^{3}g+ρ{{L}_{乙}}^{3}g}{{{L}_{乙}}^{2}}$=$\frac{ρ（\frac{{p}_{1}}{ρg}）^{3}g+ρ（{\frac{{p}_{2}}{ρg}）}^{3}g}{（\frac{{p}_{2}}{ρg}）^{2}}$=$\frac{{{p}_{1}}^{3}+{{p}_{2}}^{3}}{{{p}_{2}}^{2}}$；
（2）将甲和乙放入足够多的水中静止后，
若材料的密度大于或等于水的密度时，它们排开水的体积和自身的体积相等，
则由F_浮=ρgV排可得，甲乙受到的浮力之比：
$\frac{{F}_{浮甲}}{{F}_{浮乙}}$=$\frac{{ρ}_{水}g{V}_{甲}}{{ρ}_{水}g{V}_{乙}}$=$\frac{{V}_{甲}}{{V}_{乙}}$=$\frac{（\frac{{p}_{1}}{ρg}）^{3}}{（{\frac{{p}_{2}}{ρg}）}^{3}}$=$\frac{{{p}_{1}}^{3}}{{{p}_{2}}^{3}}$，
若材料的密度小于水的密度时，它们受到的浮力等于自动的重力，
由F_浮=G=mg=ρVg=ρL³g可得，甲乙受到的浮力之比：
$\frac{{F}_{浮甲}}{{F}_{浮乙}}$=$\frac{ρ{{L}_{甲}}^{3}g}{ρ{{L}_{乙}}^{3}g}$=$\frac{{{L}_{甲}}^{3}}{{{L}_{乙}}^{3}}$=$\frac{（\frac{{p}_{1}}{ρg}）^{3}}{（{\frac{{p}_{2}}{ρg}）}^{3}}$=$\frac{{{p}_{1}}^{3}}{{{p}_{2}}^{3}}$，
综上可知，甲乙受到的浮力之比为$\frac{{{p}_{1}}^{3}}{{{p}_{2}}^{3}}$．
故答案为：$\frac{{{p}_{1}}^{3}+{{p}_{2}}^{3}}{{{p}_{2}}^{2}}$；$\frac{{{p}_{1}}^{3}}{{{p}_{2}}^{3}}$．

点评 本题考查了重力公式、密度公式、压强公式、阿基米德原理和物体浮沉条件的应用，利用p=ρgh表示出甲、乙的边长是关键．