Question

（2012?顺义区一模）工人用如图所示装置，打捞深井中的边长为30cm的正方体石料，石料的密度为3×10³kg/m³．装置的OC、DE、FG三根柱子固定在地面上，AB杆可绕O点转动，AO：OB=1：2，边长为L的正立方体配重M通过绳竖直拉着杆的B端．现用绳子系住石料并挂在滑轮的钩上，工人用力沿竖直方向向下拉绳，使石料以0.2m/s的速度从水中匀速提升．AB杆始终处于水平位置，绳子的质量、轮与轴间的摩擦均不计，g取10N/kg．求：
（1）如果石料在水中匀速上升时滑轮组的机械效率是η₁，石料完全离开水面后滑轮组的机械效率是η₂，且η₁：η₂=83：84，求石料在水中匀速上升过程中，工人拉绳的功率多大？
（2）若石料在水中匀速上升时，配重对地面的压强为6500帕，石料完全离开水面后，配重对地面的压强为4812.5帕；求配重M的密度．

Answer 1

分析：（1）已知正方体石料边长为30cm，可求出体积，又知密度3×10³kg/m³，根据G=ρVg可求出重力；再根据阿基米德定律求出石料所受的浮力，即可求出动滑轮对石料的拉力；然后根据机械效率公式η₁和η₂的表达式，由η₁：η₂=83：84，列出方程求出动滑轮重；再由滑轮组的省力特点求出工人的拉力，根据石料的速度求出绳子自由端的拉力，最后根据P=FV求出拉力的功率．
（2）根据滑轮组省力特点，求出配重出水前滑轮组绳子的拉力，已知AO：OB=1：2，根据杠杆的平衡条件可求出杠杆B端对配重的拉力，根据F'_B1+N=G_M，列出方程；
根据滑轮组省力特点，求出配重出水后滑轮组绳子的拉力，已知AO：OB=1：2，根据杠杆的平衡条件可求出杠杆B端对配重的拉力，根据F′_B2+N'=G_M，列出方程，结合两方程可求出配重M的密度．

解答：解：（1）分别取石料、滑轮和杠杆为研究对象，其受力情况如图示，
石料的重力G石=ρVg=3×103kg/m3×10N/kg×(0.3m)3=810N，
石料所受的浮力F_浮=ρ_水gV_排=1×10³kg/m³×10N/kg×（0.3m）³=270N，
拉力T₁=G_石-F_浮=810N-270N=540N，

设石料在水中和完全离开水面后所上升的高度均为h，根据题意可得：
η1=

(G石-F浮)h

[(G石-F浮)+G轮]h

=

810N-270N

810N-270N+G轮

=

540N

540N+G轮

，
η2=

G石h

(G石+G轮)h

=

810N

810N+G轮

，

η1

η2

=

540N 540N+G轮

810N 810N+G轮

=

83

84

，
联立式可得G_轮=20N，
工人的拉力为FA1=

T′1+G动

2

=

T1+G动

2

=

540N+20N

2

=280N，
拉力的功率为p=Fnv=280N×2×0.2m/s=112W．
（2）分别取杠杆和配重为研究对象，两种状态下的受力情况分别如图示：

石料在水中时，F_A1?OA=F_B1?OB，FB1=280N×

1

2

=140N，
因F′_B1+N=G_M，即p1L2=ρMgL3-F′B1，6500Pa?L2=ρMgL3-140N…①，
石料出水后，F_A2?OA=F_B2?OB，FB2=415N×

1

2

=207.5N，
因F′_B2+N′=G_M，即p2L2=ρMgL3-FB2，4812.5Pa?L2=ρMgL3-207.5N…②，
联立①②两式可解得ρM=5×103kg/m3．
答：（1）石料在水中匀速上升过程中，工人拉绳的功率是112W；
（2）配重M的密度是5×10³kg/m³．

点评：（1）本题考查的知识面比较广，有功率的计算，密度的计算，杠杆平衡条件的应用及滑轮组的特点等．解决此题第一问关键是求出动滑轮的重力，分别写出η₁和η₂的表达式，依据η₁：η₂=83：84列出方程是突破口．
（2）解答本题第二问的关键是要理清题意，正确对物体进行受力分析，正确运用杠杆平衡条件和压强公式是解题的关键．