Question

15．研究表明：雨滴自高空由静止下落，雨滴下落过程中受空气阻力随其速度增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的终极速度．假设每个雨滴可看成球形，每个雨滴的密度相同，雨滴下落过程中受到空气的阻力与雨滴的半径r的平方成正比，与下落速度v 的平方成正比，即f_阻=kr²v²，其中k为比例常数，对于常温下的空气，比例系数k=3.4×10^-4Ns/m²．已知球的体积公式：V=$\frac{4}{3}$π•r³（r为半径），g=10N/kg．每个雨滴最终都做匀速运动．如果两个雨滴的半径之比为1：4，则这两个雨滴的落地速度之比为（　　）

• A． 1：8
• B． 1：4
• C． 1：2
• D． 1：1

Answer 1

分析 根据物体下落到终极速度时将做匀速直线运动，利用二力平衡条件f=G=mg=ρVg、V=$\frac{4}{3}$πr³及f_阻=kr²v²得出终极速度的表达式，进而可求出这两个雨滴的落地速度之比．

解答 解：由题意知，每个雨滴最终都做匀速直线运动，
此时雨滴受到的空气阻力与其重力是一对平衡力，大小相等；
即f_阻=G_雨滴=mg=ρVg=$\frac{4}{3}$πr³ρg------①
根据题意有：f_阻=kr²v² ------②
联立①②可解得：v=$\sqrt{\frac{4ρπrg}{3k}}$，由于每个雨滴的密度ρ相同，π、g、k均为常数，
所以这两个雨滴的落地速度之比：v₁：v₂=$\sqrt{{r}_{1}}$：$\sqrt{{r}_{2}}$=1：2．
故选：C．

点评 解决本题的关键是要充分利用题目中所提供的信息，物体达到终极速度时运用二力平衡条件（重力等于阻力）找出终极速度的表达式即可正确解题，具有一定的难度．