Question

15．在一个侧面带有排水管的圆柱形容器内装有一定质量的水（水的密度为ρ_水），将一个高为h₀、横截面积为s₁的圆柱形实心塑料块挂在弹簧测力计下，当塑料块浸入水中的深度为h₁时，弹簧测力计的示数恰好为零；如图所示．已知在弹性限度内，弹簧的伸长与受到的拉力成正比，弹簧受到G₀的拉力时伸长l₀（在弹性限度内）；若容器的底面积为S₂．从排水管中放出一定质量的水后，塑料块底面刚好与水面相平．请你通过推导计算，回答下列问题：
①实心塑料块的密度是多少？
②从排水管中放出水的质量是多少？

Answer 1

分析 （1）根据塑料块浸入水中的深度为h₁时，可求得其浮力，然后根据弹簧测力计的示数恰好为零，可求得其重力，由此可求得其质量，然后利用密度公式可求得其密度；
（2）求得塑料块的重力，塑料块底面刚好与水平面相平时，根据弹簧的伸长与受到的拉力成正比，得到弹簧伸长的长度，也就是塑料块下降的高度，已知原来塑料块浸入水中的深度，可以这样假设，水被放出时，塑料块一直不动，随着水刚好和塑料块底面相平时，水和塑料块再集体下降相同的高度．
已知容器底面积，水的体积=塑料块周围水的体积+水液面下降的体积，列等式求解．

解答 解：
（1）塑料块的体积V=s₁h₀，
当塑料块浸入h₁，塑料排开水的体积V_排=s₁h₁，
塑料块所受的浮力F_浮=ρgV_排=ρ_水gs₁h₁，
由此时弹簧测力计的示数恰好为零，可知塑料块的重力G=ρ_水gs₁h₁，
则塑料的质量m=$\frac{G}{g}$=$\frac{{ρ}_{水}{{gs}_{1}h}_{1}}{g}$=ρ_水s₁h₁，
则塑料块的密度ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{{{{ρ}_{水}s}_{1}h}_{1}}{{{s}_{1}h}_{0}}$=$\frac{{h}_{1}}{{h}_{0}}•{ρ}_{水}$；
（2）设弹簧伸长的长度为l₁，
则塑料块下降的长度为l₁′=l₁=$\frac{{Gl}_{0}}{{G}_{0}}$，
设排出水的质量为m，水的体积=塑料块周围水的体积+水液面下降$\frac{{Gl}_{0}}{{G}_{0}}$的体积，
则（s₂-s₁）h₁+$\frac{{{ρ}_{水}g{s}_{1}{h}_{1}l}_{0}}{{G}_{0}}$s₂=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$，
解得m=$\frac{{{{{G}_{0}{{（s}_{2}-s}_{1}）h}_{1}+{ρ}_{水}g{s}_{1}{h}_{1}l}_{0}{s}_{2}}_{\;}}{{G}_{0}}$•ρ_水．
答：
①实心塑料块的密度为$\frac{{h}_{1}}{{h}_{0}}•{ρ}_{水}$；
②排出水的质量为$\frac{{{{{G}_{0}{{（s}_{2}-s}_{1}）h}_{1}+{ρ}_{水}g{s}_{1}{h}_{1}l}_{0}{s}_{2}}_{\;}}{{G}_{0}}$•ρ_水．

点评 本题考查了密度公式和重力公式、浮力公式的计算，关键是知道塑料块的重力等于当塑料块底面刚好接触水面时的示数，计算过程要注意单位的换算．