Question

1．将高为10cm的圆柱体甲放在水平地面上，细绳的一端系于圆柱体甲上表面的中央，另一端竖直拉着杠杆的A端．当把质量为800g的圆柱体乙悬挂在杠杆的B端并处于圆柱形容器M中时，杠杆在水平位置平衡，如图所示，此时圆柱体甲对水平地面的压强为3200Pa．把质量为900g的水注入容器M中，水未溢出，水静止后，水对容器M底面的压强为2500Pa，圆柱体甲对水平地面的压强为5000Pa．已知：AO：OB=2：3，容器M的底面积为60cm²，不计杠杆的质量，g取10N/kg．
求：（1）求水注入容器M后，容器M中水的深度；
（2）圆柱体甲的体积为多少？
（3）圆柱体甲的密度为多少？

Answer 1

分析 根据水对容器M底面的压强为2500Pa，利用压强公式变形可求出注水后水面的高度h₁，然后利用密度公式求出没有物体浸没在水中时水面的高度h₂，则乙物体排开水的体积为V_排=（h₁-h₂）×S_容器；然后将其代入浮力公式解得乙物体受到的浮力；
假设甲的密度为ρ_甲，底面积为S_甲；利用杠杆的平衡条件得出两个关于ρ_甲、S_甲的方程，然后利用数学知识将S_甲消除，即可解得甲的密度，最后求出甲的体积．

解答 解：由液体压强公式p=ρhg得：
容器M中水的深度h₁=$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{2500Pa}{1.0×{10}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.25m；
由ρ=$\frac{m}{V}$得：注入容器M中的水的体积V_水=$\frac{{m}_{水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{900g}{1g/{cm}^{3}}$=900cm³，
若圆柱体乙没有浸入水时水的深度h₂=$\frac{{V}_{水}}{{S}_{容器}}$=$\frac{900{cm}^{3}}{60{cm}^{2}}$=15cm=0.15m，
则乙物体排开水的体积为：V_排=（h₁-h₂）×S_容器=0.1m×0.006m²=0.0006m³，
圆柱体乙受到的浮力为F_浮=ρ_水V_排g=1.0×10³kg/m³×0.0006m³×10N/kg=6N；
圆柱体乙的重力为G_乙=m_乙g=0.8kg×10N/kg=8N，
灌水后乙物体对B点的拉力为F_乙′=G_乙-F_浮=8N-6N=2N，
容器M中注入水前，由杠杆的平衡条件F₁L₁=F₂L₂得：
 F_甲•AO=F_乙•OB，
即：（m_甲g-F_压）•2=G_乙•3，
（ρ_甲•S_甲•0.1m×10N/kg-3200Pa•S_甲）×2=8N×3---------①
注水后根据杠杆的平衡条件得：
F_甲′AO=F_乙′OB，
即：（ρ_甲•S_甲•0.1m×10N/kg-5000Pa•S_甲）×2=2N×3-------②
由①②两式解得，ρ_甲=5.6×10³kg/m³，S_甲=0.005m²．
所以，V_甲=S_甲•h_甲=0.005m²×0.1m=0.0005m³．
答：（1）水注入容器M后，容器M中水的深度为0.15m；
（2）圆柱体甲的体积为0.0005m³；
（3）圆柱体甲的密度为5.6×10³kg/m³．

点评 本题涉及到的知识点较多，考查杠杆的平衡条件、浮力大小的计算、液体压强大小的计算的综合运用，属于难度较大的题目．解题时注意浮力公式和液体压强公式的灵活运用．解答本题的关键点在于求解注水后乙物体对杠杆的力的大小，再根据力的合成求出注水后乙物体对杠杆的力的大小．然后即可求得圆柱体甲的密度．