Question

（2007?门头沟区一模）育兴学校科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模型．为了分析接入电路的电阻对电热器的电功率的影响，他们将电表接入电路中，其电路图如图所示．当只闭合开关S₁时，电压表的示数为U₁，电阻R₃消耗的电功率为P₃；当只闭合开关S₂时，电压表的示数为U₂，电阻R₃消耗的电功率为P₃′，测得此时电阻R₂消耗的电功率为1.6W．已知2U₁=U₂，P₃=4P₃′，电源两端电压保持不变．
（1）请你计算出电阻R₁与电阻R₂的比值．
（2）当开关S₁、S₂、S₃分别处于什么状态时，电路消耗的电功率最大，请你计算出这个电功率．

Answer 1

分析：（1）只闭合S₁时R₁和R₂串联，只闭合S₂时R₂和R₃串联，根据P=I²R表示出电阻R₃消耗的电功率结合比值求出两电流关系，根据欧姆定律表示出电压表的示数结合电流关系即可求出电阻R₁与电阻R₂的比值；
（2）根据电阻的串联和欧姆定律表示出电源的电压，利用电源的电压不变建立等式结合电流关系即可得出三电阻的阻值关系，根据电阻的串联和欧姆定律表示出图2中的电流，利用P=I²R表示出电阻R₂消耗的电功率1.6W，当S₁、S₂、S₃都闭合时，R₁和R₂并联，此时电路中的总电阻最小，电路的总功率最大，根据并联电路的电压特点和P=

U2

R

表示出R₁和R₂的电功率，两者之和即为最大总功率．

解答：解：（1）只闭合S₁时，R₁和R₂串联，等效电路图如图1所示；只闭合S₂时，R₂和R₃串联，等效电路图如图2所示．

∵P=I²R，且P₃：P₃′=4：1，
∴

P3

P′3

=

I21R3

I22R3

=（

I1

I2

）²=

4

1

，
解得：

I1

I2

=

2

1

，
∵I=

U

R

，且U₁：U₂=1：2，
∴

U1

U2

=

I1R1

I2R2

=

I1

I2

×

R1

R2

=

2

1

×

R1

R2

=

1

2

，
解得：

R1

R2

=

1

4

；
（2）∵电源的电压不变，
∴

I1

I2

=

R2+R3

R1+R3

=

4R1+R3

R1+R3

=

2

1

，
解得：R₃=2R₁，R₂=2R₃，
图2中：I₂=

U

R2+R3

=

U

R2+ 1 2 R2

=

2U

3R2

，
P₂=I₂²R₂=（

2U

3R2

）²×R₂=

4

9

×

U2

R2

=1.6W，
即

U2

R2

=3.6W，
当S₁、S₂、S₃都闭合时，R₁和R₂并联，此时R_总最小，电路的总功率最大．

∵并联电路中各支路两端的电压相等，
∴电路消耗的最大功率：
P=P₁+P₂′=

U2

R1

+

U2

R2

=

U2

1 4 R2

+

U2

R2

=5

U2

R2

=5×3.6W=18W．
答：（1）电阻R₁与电阻R₂的比值为1：4；
（2）当S₁、S₂、S₃都闭合时，电路消耗总功率最大，最大为18W．

点评：弄清三种情况下电路的连接形式结合已知的几个等式2U₁=U₂，P₃=4P₃′，从R₂消耗的电功率为1.6W为突破口．是解决本题的关键．