Question

（2012?顺义区二模）如图甲是某科技小组设计的滑轮组模型装置．在底面积为800cm²的圆柱形容器中装有密度为ρ₁的液体，边长为20cm的正立方体物块M完全浸没在液体中匀速竖直上升时，滑轮组的机械效率为η₁；密度为ρ₂的物块M全部露出液面后匀速竖直上升时，滑轮组的机械效率为η₂，η₁与η₂之比为8：9．滑轮的质量m_A=m_B=m_C、且m_D=2m_C，细绳的质量、滑轮与轴之间的摩擦、液体对物块M的阻力均忽略不计，液体与物块M的质量与体积关系的图象如图乙示．（g取10N/kg）（人的质量为60kg，与地面的接触面积为300cm²）
求：
（1）物块M离开液面后，液体对容器底部的压强变化了多少？
（2）物块M露出液面前人对地面的压强P；
（3）离开液面后如果物块M以0.1m/s的速度匀速上升时，人所提供的拉力的功率．

Answer 1

分析：先从乙图中中读出任意一组质量和体积值，根据密度公式求出液体和物体的密度．
（1）根据体积公式求出物块M离开液面后液面深度的变化量，再根据液体压强公式求出液体对容器底部压强的变化量．
（2）分别对M完全浸没和全部露出液面时，M、滑轮D、C和人的受力分析；根据密度公式和重力公式求出物体M的重力，根据阿基米德原理求出物体M浸没时受到的浮力；根据力的平衡和相互作用得出等式求出绳子对物体M的拉力；然后根据滑轮组的机械效率表示出两种情况下滑轮组的机械效率，进一步求出动滑轮的重力，代入上边得到的等式即可求出人对滑轮组的拉力，人的重力减掉对滑轮组的拉力即为对地面的压力，最后根据压强公式求出物块M露出液面前人对地面的压强．
（3）由图可知，绳端移动的距离为物体移动距离的6倍，即v_绳=6v_物，根据P=Fv求出离开液面后人所提供的拉力的功率．

解答：解：由图象可知：当m₁=30g时，V₁=30cm³；当m₂=25g时，V₂=5cm³，则
ρ₁=

m1

V1

=

30g

30cm3

=1g/cm³=1×10³kg/m³，ρ₂=

m2

V2

=

25g

5cm3

=5g/cm³=5×10³kg/m³；
（1）物块M离开液面后，容器内液面下降了：
△h=

△l3

S

=

(20cm)3

800cm2

=10cm=0.1m，
对容器底的压强变化了：
△p=ρ₁gh=1×10³kg/m³×10N/kg×0.1m=10³Pa；
（2）M完全浸没在液体中匀速上升时，M、滑轮D、C和人的受力情况分析如图示；
M全部露出液面后匀速上升时，M、滑轮D、C和人受力情况分析如图所示．

物块M的重力：
G_M=ρ₂gL³=5×10³kg/m³×10N/kg×（0.2m）³=400N，
物块M在液体中受到的浮力：
F_浮=ρ₁gL³=1×10³kg/m³×10N/kg×（0.2m）³=80N，
T₁=G_M-F_浮=400N-80N=320N；
3F_D1=G_D+T'₁=G_D+320N---------①
2F_C1=G_C+F_D1′---------------②
设物块M露出液面前、后上升的高度均为h，
η₁=

T1h

T1h+GDh+GC3h

=

320N

320N+2GC+3GC

------③
T₂=G_M=400N，
3F_D2=G_D+T₂′=G_D+400N----------④
2F_C2=G_C+F_D2′----------------⑤
η₂=

T2h

T2h+GDh+GC3h

=

400N

400N+2GC+3GC

-------⑥
∵

η1

η2

=

8

9

，
联立③⑥两式可得：

η1

η2

=

320N 320N+5GC

400N 400N+5GC

=

8

9

，
∴解得：G_C=80N，G_D=160N，
将G_C=80N，G_D=160N分别代入以上各式可得：
F_C1=120N，F_C2=

400

3

N；
物块M露出液面前人对地面的压强：
p=

G人-F′C1

S人

=

60kg×10N/kg-120N

3×10-2m2

=1.6×10⁴Pa；
（3）人所提供的拉力的功率：
P=F_C2′×6V_m=

400

3

N×6×0.1m/s=80W．
答：（1）物块M离开液面后，液体对容器底部的压强变化了10³Pa；
（2）物块M露出液面前人对地面的压强为1.6×10⁴Pa；
（3）人所提供的拉力的功率为80W．

点评：本题为力学综合题，考查了学生对重力公式、密度公式、阿基米德原理、滑轮组效率公式的掌握和运用，知识点多、综合性强，要求灵活运用所学知识求解．