Question

某溶液的密度随深度h（以厘米为单位）而变化，其变化规律为：ρ=ρ₀+k·h，式中ρ₀=1克/厘米³，k=0.01克/厘米⁴．现向该溶液中放入两只用一根10厘米长的细线连在一起的小球A和B，每只球的体积为V=1厘米³，其质量分别为m_A=1.2克和m_B=1.4克．而且两个球在溶液中都处于悬浮静止状态，线是拉紧的．
求：（1）此时小球A所处的深度h_A．  （2）此时细线对小球A的拉力T．

Answer 1

解：（1）设A球所处深度为h_A，B球所处深度为h_B，由于m_A＜m_B，所以B球应在A球下方；
则：h_B=h_A+0.1m，将A、B看作整体，根据物体的悬浮条件可得：F_浮A+F_浮B=G_A+G_B，即：ρ_AgV_A+ρ_BgV_B=m_Ag+m_Bg，（ρ₀+kh_A）V+（ρ₀+kh_B）V=m_A+m_B，2ρ₀V+2kh_AV+k×0.1m×V=m_A+m_B，即：2×1×10³kg/m³×1×10^-6m³+2×0.01×10⁵kg/m⁴×h_A×1×10^-6m³+0.01×10⁵kg/m⁴×0.1m×1×10^-6m³=2.6×10^-3kg，
解得：h_A=0.25m=25cm，（2）h_B=h_A+0.1m=0.25m+0.1m=0.35m；ρ_B=ρ₀+kh_B=1×10³kg/m³+0.01×10⁵kg/m⁴×0.35m=1.35×10³kg/m³，B球受到的浮力：F_B=ρ_BgV_B=ρ_BgV=1.35×10³kg/m³×10N/kg×1×10^-6m³=0.0135N，B球重：G_B=m_Bg=0.0014kg×10N/kg=0.014N，∵G_B=F_B+F_拉，∴T=F_拉=G_B-F_B=0.014N-0.0135N=0.005N．答：（1）此时小球A所处的深度h_A=25cm；（2）此时细线对小球A的拉力T=0.0005N．
（1）设A球所处深度为h_A，B球所处深度为h_B，因为m_A＜m_B，所以h_B=h_A+0.1m，根据物体的悬浮条件列方程求得A、B球所处的深度；
（2）利用ρ_B=ρ₀+kh_B求出B球处的密度，利用阿基米德原理求出B球受到的浮力，因为B球静止，所以G_B=F_B+F_拉，据此求绳子中拉力大小．
点评：本题考查了学生对重力公式、阿基米德原理、物体的悬浮条件的掌握和运用，因为数字比较复杂，要细心！为计算方便，取g=10N/kg．