Question

3．如图所示电路，电源两端电压不变，设灯的电阻不随温度变化．当开关S₁、S₂都闭合时，灯L正常发光，R₁消耗的功率为36W；当开关S₁、S₂都断开时，灯L的功率为其额定功率的$\frac{1}{4}$，R₂消耗的功率为2W，则下列说法正确的是（　　）

• A． R₁=2R₂
• B． R_L=R₁+R₂
• C． 灯L的额定功率为24W
• D． 只闭合S₂时，电路消耗功率为72W

Answer 1

分析 （1）当开关S₁、S₂都闭合时，R₁、R₂和灯泡并联，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$，用R₁消耗的功率和电阻表示出电源的电压；
（2）当开关S₁、S₂都断开时，R₁、R₂和灯泡串联，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$，灯的电阻不变时，电功率与电压的平方成正比，得出此时灯的实际电压与额定电压的关系，由串联电路电压的规律，得出R₁、R₂的总电压与电源电压的关系，根据分压原理求出灯的电阻与两电阻的关系式；
先求出电路中电流，利用此时灯泡功率是额定功率的$\frac{1}{4}$，再利用R₂消耗的功率求出R₂，联立方程即可求出灯泡的额定功率；
（3）只闭合S₂时，为灯的简单电路，电路的功率即灯的额定功率．

解答 解：设灯的电阻不随温度变化．当开关S₁、S₂都闭合时，两电阻并联后再与灯并联，灯L正常发光，电源电压等于灯的额定电压，R₁消耗的功率为36W；根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$得：U²=P₁R₁=36W×R₁-----------------------------①
当开关S₁、S₂都断开时，三个用电器串联，灯L的功率为其额定功率的$\frac{1}{4}$，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$，灯的电阻不变时，电功率与电压的平方成正比，此时灯的实际电压为$\frac{U}{2}$，由串联电路电压的规律，R₁、R₂的总电压为U-$\frac{U}{2}$=$\frac{U}{2}$，
根据分压原理，R_L=R₁+R₂------------------------②，B正确；
由于灯L正常发光，此时灯的实际功率就是额定功率，
灯的额定功率P_L额=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{L}}$=$\frac{{P}_{1}{R}_{1}}{{R}_{L}}$=$\frac{36W{×R}_{1}}{{R}_{L}}$，所以，R_L=$\frac{36W{×R}_{1}}{{P}_{L额}}$------------------------③
（2）当开关S₁、S₂都断开时，电阻R₁、R₂和灯泡L串联，
根据串联电路的总阻值等于各电阻之和可知：此时总阻值R_串联=R₁+R₂+R_L，
R₂消耗的功率P₂=I²R₂=$（\frac{U}{{R}_{1}{+R}_{2}{+R}_{L}}）^{2}$R₂═2W，
即$\frac{{U}^{2}}{{{4R}_{L}}^{2}}$R₂=2W，因P_L额=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{L}}$，故$\frac{{U}^{2}}{{{4R}_{L}}^{2}}$R₂=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{L}}$×$\frac{1}{{4R}_{L}}$×R₂=$\frac{{P}_{L额}}{{4R}_{L}}$×R₂=2W，
即$\frac{{P}_{L额}}{{4R}_{L}}$R₂=2W，
所以，P_L额=$\frac{8W}{{R}_{2}}$×R_L------------------------④
联立②③④式得：2R₁²-5R₁R₂+2R₂=0，解之：R₁=$\frac{{R}_{2}}{2}$或R₁=2R₂，A正确；
将R₁的值分别代入②得：R_L=$\frac{3}{2}$R₂或R_L=3R₂
再将R_L的表达式分别代入④得：
P_L额=$\frac{8W{×R}_{L}}{{R}_{2}}$=$\frac{8W×\frac{3}{2}{R}_{2}}{{R}_{2}}$=12W
或$\frac{8{W×R}_{L}}{{R}_{2}}$=$\frac{2{4W×R}_{2}}{{R}_{2}}$=24W；C正确；
只闭合S₂时，为灯的简单电路，电路的功率即灯的额定功率为12W或24W，D错误；
故选D．

点评 本题的关键是认清电路的串并联，利用串联电路的规律和电功率公式找到电阻R₁、R₂和R_L的关系，关键是公式及其变形的灵活运用，对数学知识要求高，属于难题．