Question

7．目前，高速公路收费站对过往的货车实施计重收费，沈清同学结合所学物理知识设计了称量车重的模拟电路，如图1所示．电源电压为U₀；电压表的满量程为$\frac{{U}_{0}}{4}$；电阻R₁和R₂均由同一种均匀电阻线制成，滑动变阻器R₁总长为L₀、最大电阻为R₀，且电阻大小与其接入电路电阻线长度的关系图象如图2所示．图1中弹簧上方压板的右端固定金属滑片P（压板与金属滑片绝缘），P与R₁的左端接触，当压板受到压力作用时，弹簧缩短并带动P在R₁上滑动，弹簧压缩的长度与所称车重大小成正比．当没有载物时，变阻器滑片P在最上端；当电压表满量程时，变阻器R₁滑片P与a端的距离为R₁总长的$\frac{1}{3}$（弹簧能承受足够大的压力，压板、弹簧重不计）．请你计算：
（1）R₂电阻线的长度；
（2）此称重计的“零”刻线应标在电压表的什么位置；
（3）由于目前超载严重，现将电子称重计能测量的最大值增大为原来的2倍，在保持其它元件不变的情况下，仅调换R₂，R₂应改用多大阻值的电阻？

Answer 1

分析 由电路图可知，R₁与R₂串联，电压表测R₂两端的电压．
（1）电压表的满量程U₂=$\frac{{U}_{0}}{4}$，根据串联电路的电压特点求出R₁两端的电压，根据串联电路的电流特点和欧姆定律得出等式即可求出R₂与R₁的阻值关系，根据图象可知同一均匀电阻线其电阻大小与接入电路的电阻线长度成正比，根据电压表满量程时变阻器R₁滑片P与a端的距离为R₁总长的$\frac{1}{3}$求出R₂电阻线的长度；
（2）当没有载物时，变阻器滑片P在最上端，根据电阻的串联和欧姆定律得出等式即可求出电路中的电流，再根据欧姆定律求出电压表的示数，即为称重计的“零”刻线处；
（3）由弹簧压缩的长度与所称车重大小成正比可知当电子称重计能测量的最大值增大为原来的2倍时变阻器接入电路中的最小阻值，此时电压表仍满量程，根据串联电路的电流特点和欧姆定律求出R₂改用电阻的阻值．

解答 解：由电路图可知，R₁与R₂串联，电压表测R₂两端的电压．
（1）电压表的满量程U₂=$\frac{{U}_{0}}{4}$，
因串联电路中总电阻等于各分电阻之和，
所以，R₁两端的电压：
U₁=U-U₁=U₀-$\frac{{U}_{0}}{4}$=$\frac{3{U}_{0}}{4}$，
因串联电路中各处的电流相等，
所以，电路中的电流：
I=$\frac{{U}_{1}}{{R}_{1}}$=$\frac{{U}_{2}}{{R}_{2}}$，即$\frac{\frac{3}{4}{U}_{0}}{{R}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{4}{U}_{0}}{{R}_{2}}$，
解得：R₂=$\frac{1}{3}$R₁，
由图象可知：同一均匀电阻线，其电阻大小与接入电路的电阻线长度成正比，
因电压表满量程时，变阻器R₁滑片P与a端的距离为R₁总长的$\frac{1}{3}$，
所以，R₁=$\frac{2}{3}$R₀，
则R₂=$\frac{1}{3}$R₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$R₀=$\frac{2}{9}$R₀，
R₂电阻线的长度：
L₂=$\frac{2}{9}$L₀；
（2）当没有载物时，变阻器滑片P在最上端，即R₁的全部电阻连入电路中，
因串联电路中总电阻等于各分电阻之和，
所以，电路中的电流：
I′=$\frac{U}{{R}_{0}+{R}_{2}}$=$\frac{{U}_{0}}{{R}_{0}+\frac{2}{9}{R}_{0}}$=$\frac{9{U}_{0}}{11{R}_{0}}$，
电压表的示数：
U₂′=I′R₂=$\frac{9{U}_{0}}{11{R}_{0}}$×$\frac{2}{9}$R₀=$\frac{2{U}_{0}}{11}$，
即称重计的“零”刻线的位置为$\frac{2{U}_{0}}{11}$；
（3）因弹簧压缩的长度与所称车重大小成正比，
所以，当电子称重计能测量的最大值增大为原来的2倍时，变阻器接入电路中的最小阻值R₁′=$\frac{1}{3}$R₀，
因此时电压表仍满量程，
所以，电路中的电流：
I″=$\frac{{U}_{1}}{{R}_{1}′}$=$\frac{{U}_{2}}{{R}_{2}′}$，即$\frac{\frac{3}{4}{U}_{0}}{\frac{1}{3}{R}_{0}}$=$\frac{\frac{1}{4}{U}_{0}}{{R}_{2}′}$，
解得：R₂′=$\frac{{R}_{0}}{9}$．
答：（1）R₂电阻线的长度为$\frac{2}{9}$L₀；
（2）此称重计的“零”刻线应标在电压表的$\frac{2{U}_{0}}{11}$处；
（3）将电子称重计能测量的最大值增大为原来的2倍，在保持其它元件不变的情况下，R₂应改用$\frac{{R}_{0}}{9}$的电阻．

点评 本题考查了串联电路的特点和欧姆定律的应用，从图象和题干中获取有用的信息是关键，要注意当电子称重计能测量的最大值增大为原来的2倍时电压表满量程的示数不变．