Question

11．如图，一个底面积为100cm²，质量和壁厚均忽略不计的圆柱形溢水杯放在水平地面上，内装960g液体（液体在图中未画出）．把一个质量为135g、密度为0.9g/cm³的小球轻轻放入溢水杯中，小球静止后，测得从溢水杯中溢出50cm³液体，溢水杯内剩余液体和小球的总质量为1055g．（g=10N/kg）求：
（1）放入小球前，溢水杯对水平地面的压强；
（2）液体的密度是多少g/cm³？
（3）小球在溢水杯的液体中静止时受到的浮力；
（4）放入小球后，液面高度变化了多少cm？

Answer 1

分析 （1）知道小球的质量和密度，根据ρ=$\frac{m}{V}$可求小球的体积，然后与溢出液体的体积相比较确定放入小球前液体没有溢出，溢水杯对水平地面的压力和自身的重力相等，根据F=G=mg求出其大小，再根据p=$\frac{F}{S}$求出溢水杯对水平地面的压强；
（2）小球的质量加上液体的总质量然后减去溢水杯内剩余液体和小球的总质量即为溢出液体的质量，又知道溢出液体的体积，根据ρ=$\frac{m}{V}$求出液体的密度；
（3）求出液体的密度，然后与小球的密度相比较确定静止时小球在液体中沉底，排开液体的体积和自身的体积相等，根据阿基米德原理求出小球受到的浮力；
（4）知道液体的质量和密度可求液体的总体积，V_排不仅包含了上升的体积还包括溢出液体的体积，故可求放入小球后容器内小球和水的总体积，又知容器面积，分别计算原来的深度和现在的深度，进而可求放入小球后液面高度的变化．

解答 解：（1）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，小球的体积：
V_球=$\frac{{m}_{球}}{{ρ}_{球}}$=$\frac{135g}{0.9g/c{m}^{3}}$=150cm³，
因V_球=150cm³＞V_溢=50cm³，
所以，放入小球前，溢水杯中液体没有溢出，
溢水杯对水平地面的压力：
F=G_液=m_液g=960×10^-3kg×10N/kg=9.6N，
溢水杯对水平地面的压强：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{9.6N}{100×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=960Pa；
（2）小球放入溢水杯后，排开液体的质量：
m_溢=m_球+m_液-m_总=960g+135g-1055g=40g，
液体的密度：
ρ_液=$\frac{{m}_{溢}}{{V}_{溢}}$=$\frac{40g}{50c{m}^{3}}$=0.8g/cm³，
（3）因ρ_液=0.8g/cm³＜ρ_球=0.9g/cm³，
所以，小球静止时在液体中沉底，
则V_排=V_球=150cm³，
小球受到的浮力：
F_浮=ρ_液gV_排=0.8×10³kg/m³×10N/kg×150×10^-6m³=1.2N；
（4）液体的总体积：
V_液=$\frac{{m}_{液}}{{ρ}_{液}}$=$\frac{960g}{0.8g/c{m}^{3}}$=1200cm³，
原来的深度h=$\frac{{V}_{液}}{S}$=$\frac{1200c{m}^{3}}{100c{m}^{3}}$=12cm，
放入小球后，上升的体积V_升=V_排-V_溢=150cm³-50cm³=100cm³，
则放入小球后的总体积，V_总=1200cm³+100cm³=1300cm³，
现在的深度h′=$\frac{{V}_{总}}{S}$=$\frac{1300c{m}^{3}}{100c{m}^{2}}$=13cm，
所以放入小球后，液面高度变化△h=h′-h=13cm-12cm=1cm．
答：
（1）放入小球前，溢水杯对水平地面的压强为960Pa；
（2）液体的密度是0.8g/cm³；
（3）小球在溢水杯的液体中静止时受到的浮力为1.2N；
（4）放入小球后，液面高度变化了1cm．

点评 本题考查了密度公式、重力公式、固体压强公式、阿基米德原理的应用，判断出容器中放入小球前液体没有溢出和放入小球后溢出液体的质量是关键．