Question

14．如图所示，由电阻组成的长链有无数个结点，第一个结点有阻值为R的两个电阻，第二个结点有阻值为2R的两个电阻，第三个结点有阻值为4R的两个电阻，如此下去…下一个结点的电阻总是前一个结点电阻的2倍，那么测量A、B间的电阻值应为多少？

Answer 1

分析 因为是无限网格，所以若去掉第一个个网格，后面的网格电阻正好是前面的2倍，由此根据串、并联电阻特点计算AB间电阻．

解答 解：
设R_AB=x
去掉第一个节点，后面的无穷网络正好是原来的两倍，电阻是2x，
x=R+$\frac{2x•R}{（2x+R）}$
化简可得：
2x²-3Rx-R²=0
由一元二次方程的求根公式可得：x=$\frac{3R±\sqrt{（-3R）^{2}-4×2×（-{R}^{2}）}}{2×2}$
则：x₁=$\frac{（3+\sqrt{17}）R}{4}$，
x₂=$\frac{（3-\sqrt{17}）R}{4}$（因为电阻不会为负数，故根舍去），
所以R_AB=$\frac{（3+\sqrt{17}）R}{4}$．
答：A、B间的电阻值应为$\frac{（3+\sqrt{17}）R}{4}$．

点评 本题考查无穷网格电阻的计算，关键是对无穷网格化简．