小明设计了一个公厕中的自动冲刷厕所的水箱.这种水箱能把自来水管持续供给的较小流量的水储备到一定量后.自动开启放水阀.这样就可用较大水量冲刷便池中的污物.水箱的结构如图所示．已知水箱底为边长L=40cm的正方形.A是一面积为50cm2的长为L1=8cm的长方形放水阀门.其质量和厚度忽略不计.且恰好能将排水管口盖严.阀门在左端� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

小明设计了一个公厕中的自动冲刷厕所的水箱，这种水箱能把自来水管持续供给的较小流量的水储备到一定量后，自动开启放水阀，这样就可用较大水量冲刷便池中的污物，水箱的结构如图所示．
已知水箱底为边长L=40cm的正方形，A是一面积为50cm²的长为L₁=8cm的长方形放水阀门，其质量和厚度忽略不计，且恰好能将排水管口盖严，阀门在左端用活页固定在箱底的排水管口的边缘，右端通过一很小的挂钩及连杆与浮子B相连，连杆的长度h₀=10cm，浮子B的高是H=30cm、质量m=0.4kg的空心圆柱体，设水箱每次放水都能将水箱中的水全部放净，当水箱内水面涨到36cm时开始放水，（g取10N/kg）求：
（1）此时A受到水的压强、压力分别为多少？
（2）浮子B的横截面积为多大？
（3）若自来水进水管的流量是0.2m³/h，水箱某次放水结束到下次开始放水的时间间隔为多少？（此时可忽略浮子B排开水的体积．

分析（1）利用p=ρgh求出水产生的压强，利用F=pS求出压力；
（2）浮子B对阀门A产生一个向上的拉力，这个拉力使阀门A向上运动造成阀门A打开，水向外流出．
①以浮子B为研究对象，对其受力分析：其受到的向下的重力、连杆对其向下拉力和向上的浮力．其处于平衡状态，从而可以得到三者的关系．进而可以得到连杆拉力和水的高度的关系式；
②以阀门A为研究对象，它是一个以左端为支点的杠杆．动力为连杆对其向上的拉力，动力臂等于其直径；阻力为水对它向下的压力，其作用点在其圆心上，因此阻力臂为其半径．根据杠杆的平衡条件可以得到连杆拉力和水的高度的关系式．
两者联立可以求得水的高度．
（3）当水箱内的水高度达到设计高度时，水箱内的水就向外排出，因此水管中流出的水的体积等于水箱内水达到设计高度时的体积时，所用的时间就是间隔的放水时间．

解答解：（1）已知：水箱中水面高度为h=36cm=0.36m，S_A=50cm²=5×10^-3m²，
则A受到水的压强p_A=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.36m=3.6×10³Pa，
由p=$\frac{F}{S}$得：水对容器底部的压力F_A=p_AS_A=3.6×10³Pa×5×10^-3m²=18N．
（2）已知h₀=10cm=0.1m，L₁=8cm=0.08m，m=0.4kg，H=30cm=0.3m，
设浮子B的横截面积为S_B，连杆对阀门A的拉力为T，此时阀门刚好可被拉开．
此时浮子B浸入水中的深度是：h-h₀，则排开的水的体积是：V_排=S_B（h-h₀），
受到的浮力：F_浮=ρ_水gS_B（h-h₀），
对浮子B根据平衡条件有：mg+T=F_浮=ρ_水gS_B（h-h₀），
即：0.4kg×10N/kg+T=1×10³kg/m³×10N/kg×S_B×（0.36m-0.1m）----------------①
由于阀门在左端用活页固定在箱底的排水管口的边缘，右端通过一很小的挂钩及连杆与浮子B相连，则以阀门左端为支点，对放水阀门A根据杠杆的平衡条件有：T×L₁=F_A×$\frac{1}{2}$L₁，
即：T×0.08m=18N×0.04m----------------②
联立①②式可解得：S_B=5×10^-3m²．
（2）已知：边长L=40cm=0.4m，Q=0.2m³/h．
当水位达到设计高度时，水箱内水的体积为：V_水=L²h-V_排=（0.4m）²×0.36m-5×10^-3m²×（0.36m-0.1m）=0.0563m³，
自来水管的流量Q=0.2m³/h 蓄满一箱水所用时间
t=$\frac{{V}_{水}}{Q}$=$\frac{0.0563{m}^{3}}{0.2{m}^{3}/h}$=0.2815h≈17min
答：（1）此时A受到水的压强、压力分别为3.6×10³Pa、18N．
（2）浮子B的横截面积为5×10^-3m²．
（3）若自来水进水管的流量是0.2m³/h，水箱某次放水结束到下次开始放水的时间间隔为17分钟．

点评本题综合了二力平衡的条件、液体压强的计算、阿基米德原理、杠杆的平衡条件等多个知识点，综合性较强，题目的难度较大．
在此题的第一问中，两次确定研究对象，得到关于连杆拉力和浮子B的横截面积的关系式是解决此题的难点．

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