Question

2012年10月15日，奥地利著名极限运动员鲍姆加特纳乘坐热气球从距地面高度约39km的高空跳下，并成功着陆．如图所示．该热气球由太空舱，绳索和气囊三部分组成．气囊与太空舱之间利用绳索连接．在加热过程中气囊中气体受热膨胀．密度变小，一部分气体逸出，当热气球总重力小于浮力时便开始上升．
假定鲍姆加特纳是在竖直方向上运动的，并经历了以下几个运动阶段：他首先乘坐热气球从地面开始加速上升到离地高h₁=1km处，此阶段绳索对太空舱向上的总拉力恒为F₁=3002.5N；接着再匀速上升到离地面高h₂=38km处，此阶段绳索对太空舱向上的总拉力恒为F₂=3000N；然后再减速上升到离地高h₃=39km处，此阶段绳索对太空舱向上的总拉力恒为F₃=2997.5N；他在上升过程中共用时t₁=1×10⁴s，在离地高39km处立即跳下．自由下落t₂=4min后速度已超过音速，最后打开降落伞，又用时t₃=16min又安全到达地面．忽略髙度对g的影响，取g=10N/kg．求：

①从离开地面到安全返回地面的整个过程中，运动员的平均速度是多少？（结果取整数）
②在热气球上升过程中．绳索对太空舱向上的总拉力做功的平均功率是多少？
③当热气球上升到离地高20km处．若热气球总质量（含气囊里面气体）m=7.18×10⁴kg，整个热气球的体积V=8×10⁵m³，整个热气球受到的空气阻力f=2×10³N，不考虑气流（或风） 对热气球的影响．则此高度处的空气密度是多少？

Answer 1

①7m/s；②1.17×10⁴W；③0.09kg/m³．

试题分析：①从离开地面到安全返回地面的过程中，运动员的总路程为s=2h₃=2×39km=78km=7.8×10⁴m；
从离开地面到安全返回地面的过程中，运动员的总时间t=t₁+t₂+t₃=1×10⁴s+4×60s+16×60s=1.12×10⁴s；
从离开地面到安全返回地面的过程中，运动员的平均速度为v==7m/s．
②在热气球上升阶段，绳索对太空舱向上的总拉力做功有三个阶段：
第一阶段：W₁=F₁h₁=3002.5N×1000m=3.0025×10⁶J，
第二阶段：W₂=F₂（h₂﹣h₁）=3000N×（38000m﹣1000m）=1.11×10⁸J，
第三阶段：W₃=F₃（h₃﹣h₂）=2997.5N×（39000m﹣38000m）=2.9975×10⁶J；
上升过程中拉力共做功W=W₁+W₂+W₃=3.0025×10⁶J+1.11×10⁸J+2.9975×10⁶J=1.17×10⁸J，
在整个上升过程中总拉力的平均功率为P==1.17×10⁴W；
③当热气球上升到离地高20km处．热气球的总重力为G=mg=7.18×10⁴kg×10N/kg=7.18×10⁵N，
此时热球匀速上升，受平衡力作用，热气球受到的空气浮力为F_浮=G+f=7.18×10⁵N+2×10³N=7.2×10⁵N，
而F_浮=ρ_空气gV_排，得空气的密度为ρ_空气==0.09kg/m³．