Question

（2013?和平区二模）一场大雪后，地上积了很厚的雪，小明对地上的积雪发生兴趣，开始进行研究．
（1）为了测量积雪的密度，小明设计了“根据积雪地上的脚印深度进行估算”的方法．他利用一块平整地面上的积雪，用脚竖直向下踩在雪上，形成一个向下凹的脚印（脚印下的雪由于受外力挤压可近似看成冰层）然后通过测量积雪原来的厚度H，用脚踩后在雪地上形成脚印的深度h，就可以估测雪的密度．请推导雪的密度表达式．（已知冰的密度ρ_冰）
（2）当路面上有积雪和结冰时，会危及交通的安全．为尽快消除路面积冰，护路工人常在路面上撒盐来降低凝固点，以避免“夜冻昼化”现象．若已知地面积冰厚度为l，冰的密度为ρ_冰，盐的浓度（盐的质量与总质量的百分比）与凝固点之间的关系如表所示，当环境温度为-3℃时，撒盐车应在每平方米的冰面上撒质量是多少的盐才能去除路面上的积冰？

盐的浓度（%）	0	5	10	15	20
凝固点（℃）	0	-3	-7.5	-12	-17

（3）雪地车有时也称全地形军用输送车，当雪地车在松软的雪地上行驶时，所受阻力主要源于履带或车轮与雪层的挤压．如图所示，某型号的履带式雪地车的每根履带宽为d，与雪地接触的压强为p，当雪地车以速度v在雪地上匀速行驶时，在雪层上造成的雪沟深度为h．试估算在时间t内雪地车克服雪层阻力做功的大小．

Answer 1

分析：（1）雪被踩前后，质量和脚印的面积是不变的．已知雪的深度和脚印的深度，可以知道踩实后的冰的深度；根据雪的深度、冰的深度和脚印的深度，可以得到雪和冰的体积；雪和冰质量不变，根据m=ρV得到雪和冰密度、体积等量关系式，最后得出雪的密度表达式．
（2）已知冰雪的凝固温度和对应的盐水浓度，只要得出此时每平方米水的质量就能得出需要的食盐的质量．
（3）已知雪地车在雪地上的速度，可以知道在一定时间内行驶的距离；已知履带的宽度和行驶的距离，可以知道雪地车碾过雪地的面积；已知雪地车对雪地的压强和碾过雪地的面积，可以得到雪地车对雪地的压力；已知对雪地的压力和雪沟深度，可以得到雪地车对雪地所做的功；

解答：解：
（1）设脚印的面积为S，则
雪的体积V_雪=SH，冰的体积V_冰=S（H-h）
根据密度公式ρ=

m

V

得

ρ雪

ρ冰

=

V冰

V雪

=

H-h

H

，
∴ρ_雪=

ρ冰(H-h)

H

，
（2）设每平方米的冰的质量为m，
m=ρ_冰V_冰=ρ_冰×1m²×l，
由表格知：-3℃时应撒盐的浓度为5%，
则有

m盐

m盐+m

=5%，
所以撒盐的质量为m_盐=

m

1-5%

=

ρ冰×1m2×l

1-5%

，
（3）设雪地车在雪地行驶的时间为t，
则t时间内前进的距离L=vt，
压下雪的面积S=L2d=2vtd，
∵p=

F

S

，
∴F=pS=p×2vtd，
∴克服雪层阻力做功W=Fh=pSh=p×2vtd×h=2pvtdh
答：（1）雪的密度表达式ρ_雪=

ρ冰(H-h)

H

；
（2）每平方米需撒盐的质量为

ρ冰×1m2×l

1-5%

kg；
（3）在时间t内雪地车克服雪层阻力做功2pvtdh．

点评：此题是力学中的一道综合题，难度很大．解决的关键是在掌握基本物理规律的基础上找准等量关系，综合应用比例法、方程法．