Question

18．我市经济建设中用到大量机械设备，某种起重机结构如图所示，起重机的吊臂OAB可以看作杠杆，吊臂前段用钢绳连着滑轮，立柱CA竖直，OB：OA=6：1．用该起重机将浸没在水中的长方体石墩提起，放在水平地面上，石墩质量为1.5×10⁴kg、底面积为3m²、高为2m（g取10N/kg，ρ_水=1.0×10³kg/m³）
（1）浸没在水中的石墩（石墩的底部末浸入淤泥中），受到浮力是多少？
（2）石墩放在水平地面上时，起重机末对石墩施力，则石墩对底面的压强是多少？
（3）石墩完全离开水面被提升的过程中，测得每根钢绳的拉力为1.0×10⁵N，此时动滑轮的机械效率是多少？
（4）当石墩被提起且仍浸没在水中时，若忽略动滑轮、钢绳和吊臂的重力及各种摩擦，起重机立柱CA对吊臂A点竖直向上的作用力是多少？

Answer 1

分析 （1）求出石墩的体积，即为其排开水的体积，然后根据阿基米德原理计算浸没在水中的石墩受到浮力；
（2）知道石墩的质量，根据G=mg求出受到的重力；石墩放在水平地面上时，起重机末对石墩施力，则石墩对地面的压力和自身的重力相等，又知道其底面积，即受力面积，根据p=$\frac{F}{S}$求出对水平地面的压强；
（3）利用η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{2Fh}$=$\frac{G}{2F}$计算此时动滑轮的机械效率；
（4）作出动力臂和阻力臂，利用相似三角形求出动力臂与阻力臂之比，然后根据杠杆平衡条件计算起重机立柱CA对吊臂A点竖直向上的作用力．

解答 解：（1）石墩浸没在水中，则排开水的体积：V_排=V=3m²×2m=6m³，
受到浮力是：F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×6m³=6×10⁴N；
（2）石墩的重力：
G=mg=1.5×10⁴kg×10N/kg=1.5×10⁵N；
石墩静止在水平地面上时，对地面的压力：
F_压=G=1.5×10⁵N，
对水平地面的压强：
p=$\frac{{F}_{压}}{S}$=$\frac{1.5×1{0}^{5}N}{3{m}^{2}}$=5×10⁴Pa；
（3）石墩完全离开水面被提升的过程中，动滑轮的机械效率是：
η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{2Fh}$=$\frac{G}{2F}$=$\frac{1.5×1{0}^{5}N}{2×1.0×1{0}^{5}N}$=75%；
（4）如图，作出动力臂和阻力臂，
在Rt△AOC和Rt△BOD中，AC∥BD，
所以△AOC∽△BOD，
OB：OA=6：1，
所以，OD：OC=6：1，
由图知，当石墩被提起且仍浸没在水中时，若忽略动滑轮、钢绳和吊臂的重力及各种摩擦，
石墩对杠杆B点的拉力为F_B=（G-F_浮）=（1.5×10⁵N-6×10⁴N）=9×10⁴N，
根据杠杆平衡条件可得：F_A×OC=F_B×OD，
起重机立柱CA对吊臂A点竖直向上的作用力：
F_A=$\frac{{F}_{B}×OD}{OC}$=$\frac{{F}_{B}×6OC}{OC}$=6F_B=6×9×10⁴N=5.4×10⁵N．
答：（1）浸没在水中的石墩（石墩的底部末浸入淤泥中），受到浮力是6×10⁴N；
（2）石墩放在水平地面上时，起重机末对石墩施力，则石墩对底面的压强是5×10⁴Pa；
（3）石墩完全离开水面被提升的过程中，测得每根钢绳的拉力为1.0×10⁵N，此时动滑轮的机械效率是75%；
（4）当石墩被提起且仍浸没在水中时，若忽略动滑轮、钢绳和吊臂的重力及各种摩擦，起重机立柱CA对吊臂A点竖直向上的作用力是5.4×10⁵N．

点评 本题考查了重力和压强、功率的计算、动滑轮的工作特点、杠杆平衡条件的应用，是一道综合性很强的题目．难点在（4），关键是作出动力臂和阻力臂，利用相似三角形求出动力臂与阻力臂之比．同时还要知道水平面上物体的压力等于自身的重力．