Question

【题目】现有4个质量均匀分布的正方体，每个正方体的边长为L、2L、3L、4L．将边长为4L的正方体放在水平地面上，然后将边长为3L的正方体放在边长为4L的正方体上表面的中央，再将边长为2L的正方体放在边长为3L的正方体上表面的中央。再将边长为L的正方体放在边长为2L的正方体上表面的中央。若在任意接触面上的压强均相等，且最上面边长为L的正方体的密度为ρ，则这4个正方体中密度最小的正方体的密度等于_____ρ。

Answer 1

【答案】

【解析】

设边长为L、2L、3L、4L的正方体密度分别为ρ1、ρ2、ρ3、ρ4，且ρ1＝ρ，设边长为L、2L、3L、4L的正方体的重力分别为G1、G2、G3、G4，则边长为L、2L、3L、4L的正方体底面积分别为L2、4L2、9L2、16L2，边长为L、2L、3L、4L的正方体体积分别为L3、8L3、27L3、64L3，由题知，在任意接触面上的压强均相等，

所以 ① ② ③

把S1＝L2、S2＝4L2带入①，解得G2＝3G1 ④

把S1＝L2、S3＝9L2和④带入②，解得G3＝5G1⑤

把S1＝L2、S4＝16L2和④⑤带入③，解得G4＝7G1⑥

根据G＝mg=ρVg，把四个正方体的体积和密度分别带入④⑤⑥，

由④得ρ2g×8L3＝3ρgL3 ，解得，

由⑤得ρ3g×27L3＝5ρgL3 ，解得 ，

由⑥得ρ4g×64L3＝7ρgL3，解得 ，

由此可以判断边长为4L的正方体密度最小为 。