Question

（2013?东城区二模）废弃空矿井的底部固定一减震弹簧，弹簧上端与装有监控仪器的长方体空心铁盒A相连，A放在弹簧上平衡时，弹簧被压缩了10cm．当在井中注满水的过程中，A缓慢上升20cm后就不再升高．此时将另一个体积形状与A相同的有磁性的盒子B用绳子系住释放到水下，B碰到A的上表面后二者在磁力作用下吸在一起．与此同时，A与弹簧脱开，绳子的另一端与如图1所示的滑轮组相连，工人站在水平地面上，将A和B一起完全拉出水面，此过程中滑轮组的机械效率η随时间t变化的图象如图2所示，已知铁盒A的高度l为30cm，减震弹簧的弹力大小F_弹随注水时A上升的高度h变化的图象如图3所示，不计绳重，滑轮轴处的摩擦和水的阻力，g=10N/kg．

求：（1）铁盒A的体积．
（2）动滑轮的总重．
（3）假设人拉绳的速度保持恒定，求A、B出水前人的拉力F的功率．

Answer 1

分析：（1）根据F_弹-h图象分析得出h=0时和h=20cm时，弹簧拉力的大小，结合物体的受力分析，根据受力平衡即可求出浮力，然后根据阿基米德原理求体积．
（2）对A、B的上表面刚到达水面的状态和下表面刚离开水面的状态，进行受力分析，得出关于拉力的表达式，然后根据机械效率的公式列出等式解之即可．
（3）根据滑轮组的绳子股数和η-t图象t₁=4s到t₂=7s是A、B出水的上升的距离求出绳的速度和拉力．利用公式P=Fv求功率．

解答：解：（1）A在弹簧上平衡时受力分析如答图1甲，则 G_A=F_弹，
由F_弹-h图象知上升高度h=0时，F_弹=200N，
∴G_A=200N．
当A上升了20cm后不再升高，说明此时A全部浸没在水中，受力分析如答图2乙，
此时有F_浮=G_A+F_弹′，
由图象知上升高度h=20cm时，F_弹′=200N，
F_浮=200N+200N=400N，
根据阿基米德原理得：
V_A=

F浮

ρ水g

=

400N

1×103kg/m3×10N/kg

=4×10^-2m³；
（2）由η-t图象可知t₁=4s时，η₁=40%，对应B的上表面刚到达水面的状态，
A、B的受力分析如答图2，绳的拉力T₁、G_A、G_B、2F_浮，
则T₁+2F_浮=G_A+G_B，
∴T₁=G_A+G_B-2F_浮=200N+G_B-2×400N=G_B-600N，
在不计绳重，滑轮轴处的摩擦和水的阻力时，
η₁=

T1

T1+G轮

，即：40%=

GB-600N

GB-600N+G轮

----------①
由η-t图象可知t₂=7s时，η₂=80%，对应A的下表面刚离开水面的状态，
A、B的受力分析如图3，绳的拉力T₂、G_A、G_B，
则T₂=G_A+G_B，
∴T₂=G_A+G_B=200N+G_B，
η₂=

T2

T2+G轮

，即：80%=

200N+GB

200N+GB+G轮

------------②
①②联立解得G_B=760N，G_轮=240N．
（3）滑轮组的绳子股数为4股，由η-t图象可知t₁=4s到t₂=7s是A、B出水的过程，这段时间内上升的距离为2L，
所以人拉绳的速度v=

4×2L

t2-t1

=

4×2×0.3m

7s-4s

=0.8m/s．
出水前人的拉力F=

GA+GB+G轮-2F浮

4

=

200N+760N+240N-800N

4

=100N．
功率P=Fv=100N×0.8m/s=80W． 
答：（1）铁盒A的体积为4×10^-2m³．
（2）动滑轮的总重为240N．
（3）假设人拉绳的速度保持恒定，求A、B出水前人的拉力F的功率为80W．

点评：本题考查浮力和滑轮组的机械效率，是一道综合性较强的计算题，关键是分清物体的受力情况，知道在不计绳重，摩擦和水的阻力时，η=

T1

T1+G轮

．