Question

（理） 已知，其中是自然常数，[
（1）讨论时, 的单调性、极值；
（2）求证：在（Ⅰ）的条件下，;
（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）当时，f(x)单调递减；当，f(x)单调递增 ；极小值为f(1)=1 ；
（2） ；（3）   .解析:
第一问中利用导数，然后对x讨论，因为x>0，那么分为两段讨论得到函数的单调性，和极值。
解：（Ⅰ） ……1分
∴当时，，此时f(x)单调递减
当时，，此时f(x)单调递增   ……3分
∴f(x)的极小值为f(1)=1                        ……4分
（Ⅱ） f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e】上的最小值为1，
∴，                  ……5分
令 ……6分
当时，，在(0,e】上单调递增 ……7分
∴ 
∴在（1）的条件下，          ……9分
（Ⅲ）假设存在实数a，使（）有最小值3，
                     ……10分
①   当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.            ……12分
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，满足条件. ……13分
③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.
…………………………………………………………………………………………………….14分