[题目]图甲所示为一给草地浇水的玫瑰.它位于草坪的平面上.其顶为球形.且.在球形顶上有一些完全相同的喷水孔.通过这些孔.水以相同的速率向不同的方向喷出.问:(1)．若玫瑰上的小孔分布均匀.喷头形成的“水钟的形状是怎样的?(2)．若这些孔均匀分布.水将不能均匀地洒在草地上.为了使水均匀地洒在草地上.则玫瑰上单位面积内小孔的数目n与角的关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】图甲所示为一给草地浇水的玫瑰（喷嘴），它位于草坪的平面上，其顶为球形，且，在球形顶上有一些完全相同的喷水孔，通过这些孔，水以相同的速率向不同的方向喷出。问：

（1）．若玫瑰上的小孔分布均匀，喷头形成的“水钟”的形状是怎样的？

（2）．若这些孔均匀分布，水将不能均匀地洒在草地上。为了使水均匀地洒在草地上，则玫瑰上单位面积内小孔的数目n与角的关系是怎样的？（计算中可不计喷嘴的大小）

【答案】（1）攻瑰喷出的水所形成的“水钟”的形状为上述抛物线绕y轴旋转所形成的形状（2）

【解析】

（1）由于喷出的水的分布在空中具有旋转对称性，我们只需要讨论过轴线的一个平面内的形状即可。

如图乙所示，从每个小孔中喷出的水流的轨迹是一条抛物线，从不同角度射出的水流形成的抛物线有一包络线，将平面内的包络线以中心轴旋转，即是“水钟”的形状。下面我们先求包络线的方程。

对于与y轴成角喷出的水而言，有

， ①

。 ②

据此，易得喷出的水的射程为

。

显然，当时，水的射程最远，这意味着在范因内，包络线将连续涵盖所有的水流。

又由①②可得，每一来水流的抛物线方程为，

整理得。对于上式，应该是有解的，此时对于x、y应满足，即。

此即表明水流到达不了的区城，即所要求的包络线方程为。

攻瑰喷出的水所形成的“水钟”的形状为上述抛物线绕y轴旋转所形成的形状。

2．如图丙所示，我们选取从与对称轴卖角为至的微小环带上喷孔中喷出的水为研究对象，我们应让从玫瑰上这一环带中喷出的水均匀地洒在内外半径分别为和的环带中，这里和分别为玫瑰从至的环带上的喷孔中喷出的水的水平射程。

从与对称轴夹角为的小孔处喷出的水滴，其水平射程为

与对称轴夹角为的小孔处喷出的水滴，其水平射程为

，

则环带宽度为

。

上式中用到小量近似：，。

浇到半径为R、宽度为的环带上的水是从至的环带上小孔中喷出的，该环带的宽度为，其喷水量Q与环带上的小孔数成正比：

，

式中，是比例常数。

因要求洒水均匀，则浇到半径为R，宽度为的环带上的水量与环带的面积成正比，所以，

式中，是比例常数。

由得

。

比例常数、的大小取决于需要喷水的多少。

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