Question

【题目】在一个单摆下面再挂一单摆，即构成双摆，上、下两个摆的摆长都是，上、下两个摆球的质量分别为和，求这样一个双摆在同一个平面内做小振幅摆动时的频率.

Answer 1

【答案】当时，有， ； 当时，有，，

【解析】

做小角度摆动的单摆，根据牛顿第二定律有

，

（表示角加速度）

因为是小角，所以有

.

设上半段线中的张力为，下半段线中的张力为，则两个振子做小幅振动时的运动方程为

， ①

. ②

由于、都很小，由竖直方向运动的分析可知

，.

代入①②两式，得

， ③

. ④

由③④式得

. ⑤

令，，

代入③④式或③⑤式，得

，

.

或为

， ⑥

. ⑦

为使、不为零，必须有

.

由此解得双摆频率为

，

.

代入⑥⑦式，得对应的；

，

.

下图即表示这两种振动模式.

当时，有

，，

，.

当时，有

，，

，.

本题首先给我们的障碍是审题的障碍，图片呈现给我们的双摆显然在做一般的摆动，而题文给出的是小振幅的摆动，但由于图像对审题者的冲击是远大于文字的冲击的，所以，几乎所有初次接触此题的答题者，都忽略了小振幅摆动的条件，以至于无法完成解答.

其次，理解了小振幅摆动后，物理定律的运用并不存在大的难度，但其数学的运算及讨论却并不是一般的水平便能够完成的，可见，物理竞赛的学习，并不说只要掌握了相应的物理规律即可的，它一定要求我们具有较强的处理综合问题的能力，包括运用数学知识的能力.

最后，由于题图对我们思考的干扰，我们很可能认为双摆的形状应该是单一的，而对数学结论中的两解不甚明了，或者是一删了之，从而造成遗憾。

所有这些，都是对我们能力的有效检测.