【题目】如图甲所示,竖直平面上有一条光滑的四分之一圆弧轨道AB,它的圆心O与A点等高,A到B又有一条光滑的直线轨道,小球从A点自静止出发沿圆弧轨道到达B点所需的时间记为,沿直线轨道到达B点所需的时间记为。试比较和的大小。若圆弧轨道不足四分之一圆弧,但最低点的切线仍水平,且直线轨道仍连接圆弧两端,再讨论之。
【答案】,
【解析】
解析:这是一个古老的问题,早在伽利略时代就已经提了出来,只是原始问题并不受四分之一圆弧的限制,更具有普遍性。伽利略认为沿圆弧下降得快,不仅如此,他还认为,A、B间的最快速降线就是圆弧,虽然这一结论早已被证明是错误的,但作为中学生,要给出确切的轨道仍然不能完成,即便是让学生比较圆弧轨道与直线轨道的快慢都不是一件容易的事情。下面我们通过构建过渡模型,解决上述问题。
我们先构建如图乙所示的AB及两条轨道,让小球从A点开始,由静止分别沿不同的轨道滑至B及,很容易证明,小球沿这两条轨道滑行的时间是相同的,即为。(证明略)
现在乙图的基础上作出丙图。在图中以C点为顶点作小角的两条射线,两条射线在圈弧AB上截得一小段长为的圆弧,在上截得一小段长为的线段。
由图可知,小球在小圆弧处的速度大小为
。
则小球经过小段圆弧的时间为
。
小球在处的速度大小为。
当为小角时,易得,
则小球经过的时间为
。
将与比较得。
即恒有,再将其累加求和可得。
若圆环轨道不足四分之一圆弧,但最低点的切线仍水平,这是更具有普遍性的模型。作如图丁所示的图形,同样设小球沿圆弧轨道AB运动的时间为,沿直线轨道AB运动的时间为,参照图示的标注并结合前面的讨论内容可知,小球沿直线轨道AB运动的时间与沿竖直线运动的时间相等,同为。
在图中,圆弧长度为,其中R为圆半径。圈弧段的速度参量可求得为
。
经此圆弧段所需时间为
。
图中有关系,由正弦定理得
,
因此。
圆弧段对应的直线段便为
。
段的速度为
。
小球经段的时间为
。
将与作比较得
。
因为,(B在A的下方),所以,即,得,各自累加得与,则必有。
在此作一点说明,伽利略认为A、B间的最快速降线是某条圆弧的观点虽然不正确,但值得讨论的是,连接A、B的所有可能圆弧中究竟是哪一条下降得最快?
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【题目】欧洲传统工业呈“香蕉带”分布。随着欧盟东扩和制造业向东转移,这一工业带成了“金足球”形状。下图为欧洲经济空间变化示意图。完成下列各题。
【1】促使欧洲制造业向东转移的主要原因是
A. 人才向东流动 B. 寻求完善的配套设施
C. 降低生产成本 D. 受高科技产业的吸引
【2】制造业转移后,“香蕉带”会
A. 增加劳动力需求 B. 向东迁移研发中心
C. 制约制造业发展 D. 改善区域环境质量
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【题目】迫击炮和目标位于同一水平面上,它们之间有高为h的小山,迫击炮到山的水平距离为a,目标到山的水平距离为b。试求为击毁目标,炮弹必须具有的最小初速度以及发射角。
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【题目】阅读图文材料,完成下列问题。
(1)从图中可以看出我国沙漠面积最大的三个省级行政区是 、 、 。
(2)图中数字①②③处表示我国三个沙漠化严重的地区,这些地方荒漠化严重的人为原因有哪些?
(3)我国西北地区荒漠化的治理措施有哪些?
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【题目】2016年7月13日韩国宣布韩美双方决定将末段高空区域防御系统(“萨德”系统)部署在韩国东南部的星州郡。中方表示:坚决反对美韩在韩国部署“萨德”反导系统,强烈敦促美韩停止有关进程。中方将坚决采取必要措施维护自身利益。完成下列小题。
【1】朝鲜半岛的实际面积约为20万Km,在比例尺1:10000000的地图上绘出来时,图上面积约为
A. 2cm B. 20cm C. 200cm D. 2000cm
【2】右图为朝鲜半岛某地的人口密度图,若将图A放大成图B,地图所表达的内容不变,则图B
A. 比例尺变为1:20000000
B. 图上1厘米代表实际距离10千米
C. 每点代表2000人
D. 人口密度为每平方千米50人
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【题目】下图是我国某地理要素出现日期的等值线图(单位:月、日)读图回答下列各题。
【1】图中等值线表示的地理要素可能是
A. 秋季开始的日期B. 梅雨开始的日期
C. 寒潮出现的日期D. 积雪融化的日期
【2】甲地日期范围是
A. 11月1日~11月15日B. 11月15日~12月1日
C. 12月1日~12月15日D. 12月15日~12月31日
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【题目】看图回答问题:
(1)写出字母所代表的山脉名称:
A ;E ; K ;N 。
(2)写出数字代表的地形区名称: ; ; ;④ 。
(3)列举E山脉是我国地理上的哪些重要分界线。
(4)东北的三江平原,曾经是沼泽遍地的、人迹罕至的“北大荒”,现在却是我国重的商品粮基地。试分析该地区成为商品粮基地的原因。
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【题目】桂林山水甲天下,漓江风光冠桂林。下图为桂林山水景观图。读图完成下列各题。
【1】塑造桂林地貌的主要外力作用是
A. 流水侵蚀B. 冰川侵蚀
C. 海浪侵蚀D. 风力侵蚀
【2】就水循环而言,漓江属于水循环环节中的
A. 蒸发B. 降水
C. 地表径流D. 水汽输送
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【题目】下图反映了我国东部某区域土地利用状况的变化过程。读图完成下面小题。
【1】图中从阶段Ⅰ到阶段Ⅲ的用地变化导致
①河流的丰水期流量增大,枯水期流量减小
②城市人口比重增加,乡村人口比重减少
③该区域出现了逆城市化现象
④河流夏季流量减小,冬季流量增大
A. ①②B. ③④
C. ①③D. ②④
【2】从阶段Ⅲ到阶段Ⅳ的发展过程中,影响图中农业生产空间结构变化的最主要因素是
A. 政策B. 交通
C. 劳动力D. 市场
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