Question

【题目】将焦距的凸透镜从正中切去宽度为a的小部分，如图（a），再将剩下两半黏接在一起，构成一个“黏合透镜”，见图（b）。图中，在黏合透镜一侧的中心轴线上距镜20cm处，置一波长的单色点光源S，另一侧，垂直于中心轴线放置屏幕，见图（c）。屏幕上出现干涉条纹，条纹间距，试问：

(1)切去部分的宽度a是多少？

(2)为获得最多的干涉条纹，屏幕应离透镜多远？

Answer 1

【答案】(1) ,(2)

【解析】

(1)首先讨论黏合透镜的上半个透镜的成像。在图中OO是黏合透镜的中心轴线，在OO上方用实线画出了上半个透镜，在OO下方未画下半个透镜，而是补足了未切割前整个透镜的其余部分，用虚线表示。整个透镜的光轴为。

半个透镜的成像规律应与完整的透像相同。现在物点（即光源）S在黏合透镜的中心轴线上，即在

图中透镜的光轴上方处，离透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距。根据几何光学，光源S发出的光线，经透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距。根据几何光学，光源S发出的光线，经透镜折射后成为一束平行光束，其传播方向稍偏向下方，与光轴（对OO也是一样）成角为。当透镜完整时光束的宽度为透镜直径透镜直径。对于上半个透就，光束宽度为。

同理，S所发的光，经下半个透镜折射后，形成稍偏向上方的平行光束，与轴成角，宽度也是。

于是，在透镜右侧，成为夹角为的两束平行光束的干涉问题（见图），图中的两平行光束的重叠区（用阴影表示）即为干涉区。为作图清楚起见，特别是图中的角，均远较实际角度为大。

图示的是两束平行光的干涉情况，其中是和上图中的相对应的。图中实线和虚线分别表示某一时刻的波峰平面和波谷平面。在垂直于中心轴线屏幕上，A、B、C表示相长干涉的亮纹位置，D、E表示相消干涉的暗纹位置，相邻波峰平面之间的垂直距离是波长λ。故干涉条纹间距满足。

在很小的情况下，上式成为。

所以透镜切去的宽度为

,

，果然是一个很小的角度。

(2)由以上的求解过程可知，干涉条纹间距Δx屏幕离透镜L的距离无关，这正是两束平行光干涉的特点。但屏幕必须位于两束光的相干叠加区才行。图中以阴影菱形部分表示这一相干叠加区。因为由1式知条纹是等距的，显然当屏幕位于PQ处可获得最多的干涉条纹，而PQ平面到透镜L的距离

。