Question

【题目】已知函数 在区间 上有最大值4和最小值1.设 .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
（3）若 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 的对称轴为 ，且 ，故函数 在区间 上单调递增，则由题设 ，即
（2）解：由（1）可知 ，则 可化为 ，即 ，令 ，由于 ，所以 ，则不等式可化为 在 上恒成立.记 ，因其对称轴为 ，故 ，所以 ，即所求实数 的取值范围是
（3）解：因 ，故 ，则原方程可化为 ，令 ， 由于 ，则

所以问题转化为方程 有两个不相等的实数根 ，其中 或 ，记 ，结合该二次函数图象可得： 或 ，解之得 或 ，则 ，故所求实数的取值范围是

【解析】（1）由二次函数的性质可知 g(x) 在指定区间上是增函数，结合题中的已知条件得到关于a、b的方程组求解即可(2)整理化简原不等式，令t=则原函数化为 h(t)一个关于t的二次函数，再由t自身的条件限制得出t的取值范围，从而得出k的取值范围即可。(3)整体思想令| 2x 1 | = u化简整理方程可得出关于u的方程，根据方程有两个不同的根u1 , u2,结合二次函数的性质得出两个特殊点的函数值的正负 ，进而得到关于k的不等式组，解出即可得到k的取值范围。
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．