[题目]如图甲所示.在半径为a的圆柱空间中充满磁感应强度大小为B的均匀磁场.其方向平行于轴线远离读者.在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为的刚性等边三角形框架DEF.其中心O位于圆柱的轴线上.DE边上S点处有一发射带电粒子的源.发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于DE边向下.发射粒子的电量皆为.质量皆为m.但速度v有各种不同� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图甲所示，在半径为a的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度大小为B的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者。在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为的刚性等边三角形框架DEF，其中心O位于圆柱的轴线上。DE边上S点处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于DE边向下。发射粒子的电量皆为，质量皆为m，但速度v有各种不同的数值。若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边。试问：

(1)带电粒子速度v的大小取哪些数值时可使S点发出的粒子最终又回到S点？

(2)这些粒子中，回到S点所用的最短时间是多少？

【答案】(1) ，n=4，5，6，… (2)

【解析】

带电粒子（以下简称粒子）从S点垂直于DE边以速度v射出后，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，其圆心一定位于DE边上，其半径R可由求得

。 ①

(1)要求此粒子每次与的三条边碰撞时都与边垂直，且能回到S点，则R和v应满足以下条件：

(ⅰ)与边垂直的条件。

由于碰撞时速度v与边垂直，粒子运动轨迹圆的圆心一定位于三角形的边上，粒子绕过三角形顶点D、E、F时的圆弧的圆心就一定要在相邻边的交点（即D、E、F）上。粒子从S点开始向右做圆周运动，其轨迹为一系列半径为R的半圆，在SE边上最后一次的碰撞点与E点的距离应为R，所以的长度应是R的奇数倍。粒子从FD边绕过D点转回到S点时，情况类似，即的长度也应是轨道半径的奇数倍。取，则当的长度被奇数除所得的R也满足要求，即

。

因此为使粒子与三角形各达发生垂直碰撞，R必须满足下面的条件：

，n=1，2，3，…。 ②

此时，n=1，2，3，…。

为的奇数倍的条件自然满足。只要粒子绕过E点与EF边相碰，由对称关系可知，以后的碰撞都能与三角形的边垂直。

（ⅱ）粒子能绕过顶点与三角形的边相碰的条件。

由于磁场局限于半径为a的圆柱范围内，如果粒子在绕E点运动时圆轨迹与磁场边界相交，它将在相交点处以此时的速度方向沿直线运动而不能返回。所以粒子做圆周运动的半径R不能太大，由题图见，必须（三角形的顶点沿圆柱半径到磁场达界的距离时，粒子圆运动轨迹与圆柱磁场边界相切），由给定的数据可算得

。 ③

将n=1，2，3，…，分别代入②式，得

，；

，。

由于，，，这些粒子在绕过三角形的顶点E时，将从磁场边界逸出，只有的粒子能经多次碰撞绕过E、F、D点，最终回到S点。由此结论及①②两式可得与之相应的速度为

，n=4，5，6，…。④

这就是由S点发出的粒子与三角形的三条边垂直碰撞并最终又回到S点时，其速度大小必须满足的条件。

(2)这些粒子在磁场中做圆周运动的周期为

。

将①式代入，得。 ⑤

可见在B及给定时T与v无关。粒子从S点出发最后回到S点的过程中，与三角形的达碰撞次数愈少，所经历的时间就愈少，所以应取，如图乙所示（图中只画出在边框DE的碰撞情况），此时粒子的速度为，由图可看出该粒子的轨迹包括个半圆和3个圆心角为300°的圆弧，所需时间为

。 ⑥

以⑤式代入得。 ⑦

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