Question

【题目】在如图所示的装置中，上、下两个容器和连接它们的细长管都是用热容量很小的良导热体做成的，管长为l,Κ为阀门，整个装置与外界绝热。开始时，阀门关闭，两容器中都盛有质量为m，单位质量的热容量为c的某种液体。平衡时，温度都是。由于该液体的蒸汽分子受到重力的作用，所以平衡时，在管内的气体分子并非均匀分布，而是上疏下密，已知其蒸汽压强是按指数规律分布的，，式中h是管内某点距下面容器中液面的高度，是该点的蒸汽的压强，是下面容器中液面处（即处）蒸汽的压强，m是一个蒸汽分子的质量，Τ是热力学温度，k是一个常数。现在打开阀门，试论述该系统的状态将发生怎样的变化，并估算出变化最后的结果。

Answer 1

【答案】论述见解析

【解析】

（1）在打开阀门前，平衡时，上、下容器中液体表面处的蒸汽皆为饱和蒸汽。因为温度相同，所以其饱和蒸汽压相同。但在阀门两旁，由指数分布规律可知，蒸汽的蒸汽压不同。在阀门左边，因为容器内液面上方空间的高度差很小，所以蒸汽压几乎等于液面处的饱和蒸汽压；而在右边，由于管较长，因此蒸汽压明显小于下面容器内液面处的饱和蒸汽压，因而也小于阀门左边的蒸汽压。这样，打开阀门后，左边蒸汽将向右边迁移。按照指数分布规律，将使下面容器中表面处的蒸汽压大于饱和蒸汽压，从而有一部分蒸汽液化（凝结），使下方容器中的液量增加，另一方面，上面容器中液面上方的蒸汽由于向阀门右边迁移，从而使蒸汽压降低，造成液面处的蒸汽压小于饱和蒸汽压。这样，上面容器中液体将汽化（蒸发），使液体量减小。以上所述的过程将持续不断地进行，直到上面容器中的液体全部汽化而凝结在下面容器中为止，此后状态将不再变化。

（2）由于最后结果是上面容器中的液体全部转移到下面容器中，所以从能量来看，上面质量为m的液体的重力势能mgl转化为总质量为2m的液体的内能，从而使系统温度上升。若忽略容器、长管以及蒸汽等的热容量的影响，用Τ表示最后的温度，则由能量守恒定律可知

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