Question

【题目】(2015·新课标I卷）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|, a>0.
（1）当a=1时求不等式f(x)>1的解集；
（2）若f(x)图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）

{x|<x<2}

（2）

(2, +)

【解析】(I)当a=1时，不等f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|>1,
等价于或或,解得<x<2，所以不等式，f(x)>1的解集为{x|<x<2}。
(II) 由题设可得，f(x)={, 所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（,0),B(2a+1, 0), C(a,a+1),
所以△ABC的面积为.由题设得>6，解得a>2, 所以a的取值范围为(2, +) 。

(I)对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，即将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集;
(II)对多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题.即将f(x)化为分段函数，求出f(x)与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.