Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣4|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞1；
（Ⅱ）存在x0∈R，使得 ，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

所以当x≤2时，不等式f（x）＞1恒成立；

当2＜x＜4时，由6﹣2x＞1，解得 ，所以 ；

当x≥4时，不等式f（x）＞1不成立

综上可知，不等式f（x）＞1的解集为 …

（Ⅱ）存在x0∈R，使得 成立，

即m2+3m＞f（x0）成立，也即m2+3m＞fmin（x），

由（Ⅰ）可知fmin（x）=﹣2，所以m2+3m＞﹣2，

即m2+3m+2＞0（m+1）（m+2）＞0，m＜﹣2或m＞﹣1，

即m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）…．

【解析】（1）根据零点分区间讨论得出f（x）的分段函数，在每一段区间内解出不等式，综上可得解集，（2）存在x0∈R，使得 f ( x 0 ) 3 m < m 2 成立，即m2+3m＞f（x0）成立，求得f（x）的最小值为-2，原问题可转化为m2+3m＞﹣2，解不等式即可得到m的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．