Question

【题目】【选修4﹣﹣5；不等式选讲】
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（1）
（2） ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：

a2+b2+c2≥ab+bc+ca，

由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，

所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤ ．

（2）

证明：因为 +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，

故 +（a+b+c）≥2（a+b+c），即 ≥a+b+c．

所以 ≥1．

【解析】（1）依题意，由a+b+c=1（a+b+c）2=1a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；（2）利用基本不等式可证得： +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，三式累加即可证得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解不等式的证明(不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等)．