Question

【题目】如图，直线DE与⊙O相切于A，AB是⊙O的弦，∠EAB的平分线交⊙O于点C，连接CB，并延长直线EA相交于点D．

（1）求证：DAAC=DC2﹣DA2；
（2）若AD=6，AC=5，求弦AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵直线DE与⊙O相切于A，AB是⊙O的弦，∠EAB的平分线交⊙O于点C，

连接CB，并延长直线EA相交于点D，

∴∠BAC=∠EAC=∠ABC，∴AC=AB，

∴DC2﹣DA2=DC2﹣DBDC=DC（DC﹣DB）=DCBC=DCAC．

∴DAAC=DC2﹣DA2．

（2）解：设DB=x，由DA2=DBDC，得x（x+5）=36，

解得x=4，

∵直线DE与⊙O相切于A，∴∠DAB=∠ACD，

∵∠ADB=∠ADC，∴△DAB∽△DCA，

∴ ，

∵AD=6，AC=5，∴ ，解得 ．

【解析】1、由余弦定理以及∠EAB的平分线交⊙O于点C，得到∠BAC=∠EAC=∠ABC，即得AC=AB。利用割线定理证明结论。
2、根据割线定理可求出DB=4，进而推导出△DAB∽△DCA，即求出AB的长。