Question

如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L＝3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r＝1m，APD的半径为R＝2m，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为q＝37°．现有一质量为m＝1kg的小球穿在滑轨上，以初动能E_k0从B点开始沿BA向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ＝，设小球经过轨道连接处均无能量损失．求：（g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

（1）要使小球完成一周运动回到B点，求初动能E_K0至少多大；

（2）若小球以第一问E_k0数值从B出发，求小球第二次到达D点时的动能及小球在CD段上运动的总路程．

Answer 1

（1）从B点开始到轨道最高点需要能量

E_k0＝mgR(1-cosq)+ mgLsinq +mmgLcosq……代入  解得E_k0＝30J     

从最高点向左返回B点设剩余动能E_kBE_kB=mg2R-mgr(1+cosq)-mmgL=12J………

说明只要小球能从点上升到最高点以后就可以回到B点…………

要使小球完成一周运动回到B点，初动能E_K0至少30J…       

（2）小球第一次回到B点时的动能为12J，小球沿BA向上运动到最高点，距离B点为X[来源:ZXXK]

则有：E_kB=mmgXcosq+mgXsinq…………                     

X=m<3m  

   

小球掉头向下运动，当小球第二次到达D点时动能为

 

=12.6J     

小球第二次到D点后还剩12.6J的能量，沿DP弧上升一段后再返回DC段，到C点只剩下2.6J的能量。………                                        

 因此小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，之后受摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点。                    由动能定理：E_KD=μ mg x …………                                

可得小球在CD上所通过的路程为x＝3.78m

小球通过CD段的总路程为X_总＝2L＋x＝9.78m……