Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且
CC₁=2AB．
（1）求证：平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥B-B₁CD的侧面积．

Answer 1

分析：（1）由已知中CC₁⊥平面ABC，由面面垂直的判定定理，可得平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）连接BC₁交B₁C于点O，连接DO．由三角形的中位线定理可得DO∥AC₁，再由线面平行的判定定理可得AC₁∥平面CDB₁；
（3）分别求出△CDB，△CB₁B，△DB₁B的面积，进而可求出三棱锥B-B₁CD的侧面积．

解答：解（1）证明：因为CC₁⊥平面ABC．
又∵CC₁?平面C₁CD
所以平面C₁CD⊥平面ABC（4分）
（2）证明：连接BC₁交B₁C于点O，连接DO．
则O是BC₁的中点，
DO是△BAC₁的中位线．所以DO∥AC₁．…（6分）
因为DO?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁．…（9分）
（3）∵△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，
∴CD⊥AB
∴S△CDB=

1

2

CD•DB=

1

2

×

3

×1=

3

2

；
∴S△CB1B=

1

2

CB•B1B=

1

2

×2×4=4；
∴S△DB1B=

1

2

DB•B1B=

1

2

×1×4=2
所以三棱锥B-B₁CD的侧面积为

3

2

+4+2=6+

3

2

．…（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的侧面积，直线与平面平行的判定，其中（1）（2）的关键是熟练掌握线面平行和线面垂直的判定定理，（3）的关键是求出各侧面（△CDB，△CB₁B，△DB₁B）的面积．